Question

【題目】如圖所示，為了研究帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在空間中建立一平面直角坐標(biāo)系xOy，在0<_y<5l的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x>0且y<0的區(qū)域內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y軸的正半軸上固定著一個(gè)長(zhǎng)為l的彈性絕緣擋板，擋板上端位于Q點(diǎn)，下端與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子甲從電場(chǎng)中的M點(diǎn)由靜止釋放，加速后以大小為v的速度從x軸上的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．當(dāng)粒子甲剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)，位于M點(diǎn)正下方的N點(diǎn)，有一質(zhì)量為m，電荷量為1.5q的帶正電的粒子乙由靜止 釋放，經(jīng)過(guò)t0=時(shí)間加速后也從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．已知甲、乙兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡重合，均垂直打在彈性擋板上的Q點(diǎn)并以原速率彈回，不考慮粒子與擋板發(fā)生碰撞所需的時(shí)間，不計(jì)粒子重力．

(1)求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

(2)求M、P兩點(diǎn)和N、P兩點(diǎn)間的距離y1和y2；

(3)若粒子乙與彈性擋板相碰時(shí)，立即撤去磁場(chǎng)，并經(jīng)過(guò)時(shí)間t恢復(fù)原磁場(chǎng)，要使此后兩粒子一直在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)但不能經(jīng)過(guò)同一位置，求時(shí)間t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)；(3)

【解析】

解：(1)由于兩粒子均垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)且垂直打在彈性擋板上，由幾何關(guān)系可知，兩粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=l

對(duì)于粒子甲在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，有

解得：

(2)設(shè)粒子乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v′，電場(chǎng)區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，對(duì)于粒子乙在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，有：

得：

由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得：

粒子甲從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：

粒子乙從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：

聯(lián)立上述兩式可得：

(3)粒子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間繞圓心O轉(zhuǎn)過(guò)的角度：

即粒子乙到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，粒子甲恰好打在Q點(diǎn)上，

粒子乙從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)用時(shí)：

在時(shí)間t1內(nèi)，粒子甲繞圓心Q1轉(zhuǎn)過(guò)的角度：

設(shè)磁場(chǎng)撤去時(shí)，粒子甲位于C點(diǎn)，即，此后兩粒子均做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；

若磁場(chǎng)恢復(fù)后，兩粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好相切于G點(diǎn)，如圖1所示：

設(shè)粒子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心分別為O2、O3，磁場(chǎng)恢復(fù)時(shí)粒子甲、乙分別位于F、D兩點(diǎn)上，

由幾何關(guān)系可知，線(xiàn)段O1O3與x軸平行，四邊形O1O2FC為矩形，

在△O1O2O3中，由余弦定理得：

解得：

若磁場(chǎng)恢復(fù)后，粒子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與磁場(chǎng)上邊界相切于H點(diǎn)，如圖2所示：

設(shè)粒子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心分別為O2′、O3′，磁場(chǎng)恢復(fù)時(shí)粒子甲、乙分別位于F′、D′兩點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)O2′作O2′I垂直O1O3′于點(diǎn)I，由幾何關(guān)系可知

由圖2可知：

解得：

綜上所述，時(shí)間t的取值范圍為：