Question

【題目】如圖所示,在真空室中平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上,x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,PQ間的距離d=30cm。坐標(biāo)系所在空間存在一勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)的大小E=1.0N/C。一帶電油滴在xOy平面內(nèi),從P點(diǎn)與x軸成30°的夾角射出,該油滴將做勻速直線運(yùn)動(dòng),已知油滴的速度v=2.0m/s,所帶電荷量q=1.0×10-7C,重力加速度g取10m/s2。

(1)求油滴的質(zhì)量m。

(2)若在空間疊加一個(gè)垂直于xOy平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng),使油滴通過Q點(diǎn),且其運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱。已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=2.0T,求：

①油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t。

②圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S。

Answer 1

【答案】（1） （2）①0.17s；②

【解析】

（1）對(duì)帶電油滴進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律即可求解；
（2）帶電油滴進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其軌跡如圖所示，根據(jù)向心力公式、求出半徑，進(jìn)而求出周期，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角，繼而求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等。根據(jù)幾何關(guān)系和速度公式求解粒子在這兩段運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間，三段運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和即為總時(shí)間，連接MN，當(dāng)MN為圓形磁場(chǎng)的直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)面積最小，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，S=πr2求解面積

（1）對(duì)帶電油滴進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：qE-mg=0
所以m＝＝1.0×108kg
（2）帶電油滴進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其軌跡如圖所示，設(shè)其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R、運(yùn)動(dòng)周期為T、油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)牛頓第二定律：
所以Bqv＝
解得：R=＝0.10m
所以

設(shè)帶電油滴從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知∠MO'N=60°，所以，帶電油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等。根據(jù)幾何關(guān)系可知，

所以油滴在P到M和N到Q過程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

則油滴從P到Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t＝t1+t2+t3＝()s＝0.17s
（3）連接MN，當(dāng)MN為圓形磁場(chǎng)的直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)面積最小，如圖所示。根據(jù)幾何關(guān)系圓形磁場(chǎng)的半徑r=Rsin30°=0.05m
其面積為：S=πr2=0.0025πm2=7.9×10-3m2。