Question

如圖所示是一種簡化磁約束示意圖，可以將高能粒子約束起來．有一個(gè)環(huán)形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的截面內(nèi)半徑R₁，外半徑R₂，被約束的粒子帶正電，比荷

q

m

=4.0×10⁷C/kg，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用．（請?jiān)诖鹁碇泻喴�作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖）
（1）若內(nèi)半徑R₁=1m，外半徑R₂=3m，要使從中間區(qū)域沿任何方向，速率v=4×
10⁷m/s的粒子射入磁場時(shí)都不能越出磁場的外邊界，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少為多大？
（2）若內(nèi)半徑R₁=

3

m，外半徑R₂=3m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，帶電粒子從中間區(qū)域沿半徑方向射入磁場，則粒子不能穿越磁場外邊界的最大速率v_m是多少？
（3）若帶電粒子以（2）問中最大速率v_m從圓心O出發(fā)沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，請?jiān)趫D中畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間（結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示或保留二位有效數(shù)字）．

Answer 1

（1）粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越，粒子軌道半徑越大，
求出最大軌道半徑，然后求出對應(yīng)的最小磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子軌道半徑最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由圖示可知，r²+R₁²=（R₂-r）²，
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

，
解得：B=0.75T，則磁感應(yīng)強(qiáng)度至少為0.75T；
（2）粒子沿半徑方向射出恰好不射出磁場時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
根據(jù)圖示，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：r²+R₁²=（R₂-r）²，
將R₁=

3

m，R₂=3m代入解得：r=1m，
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

，
已知：B=0.5T，
解得：v=2×10⁷m/s，
則粒子的最大速率為2×10⁷m/s．
（3）帶電粒子必須三次經(jīng)過磁場，才能回到出發(fā)點(diǎn)，軌跡如圖所示：
根據(jù)圖示由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，tanθ=

R1

r

=

3

，則θ=60°
則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)過的圓心角φ=360-2×60=240°，
粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t₁=3

φ

360°

T=3×

240°

360°

×

2πm

qB

=2π×10^-7s≈6.28×10^-7s，
粒子在磁場外的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t₂=3

2R1

v

=3×

2× 3

2×107

≈5.20×10^-7s，
粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間t=t₁+t₂≈1.1×10^-6s，
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少為0.75T；
（2）粒子不能穿越磁場外邊界的最大速率v_m是2×10⁷m/s；
（3）粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間為1.1×10^-6s．