Question

1．如圖所示，長為l，電阻R₀=2Ω的導(dǎo)體棒OP固定于絕緣輪a上，可隨輪a一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．導(dǎo)體棒的一端P與同心圓形導(dǎo)軌b始終接觸良好，另一端O與導(dǎo)線相連，導(dǎo)軌電阻不計(jì)且處在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B中，絕緣輪a上纏繞了多圈不可伸長的細(xì)線，細(xì)線下端可連接鉤碼，每個(gè)鉤碼的質(zhì)量都為m=0.2kg，兩盞燈規(guī)格（2V  2W）相同，且燈絲電阻不變，輪半徑r=$\frac{1}{10π}$m，不計(jì)輪和導(dǎo)體棒的質(zhì)量及任何摩擦，當(dāng)電路中接入一盞燈，而細(xì)線掛一個(gè)鉤碼并由靜止釋放后，燈逐漸變亮，最后恰正常發(fā)光，g=10m/s²．
（1）電路分別接一盞、兩盞燈且都能正常發(fā)光的兩種情況下，導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比是多少？
（2）已知導(dǎo)體棒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所受到的安培力滿足F_A=$\frac{2r}{l}{F}_{T}$，其中F_T為繩子的拉力，試分析使電路穩(wěn)定時(shí)接人的兩盞燈正常發(fā)光，應(yīng)掛幾個(gè)鉤碼？
（3）現(xiàn)在電路中接入一盞燈，細(xì)線掛一個(gè)鉤碼并由靜止釋放，在導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)5圈時(shí)，燈已正常發(fā)光，求此過程中燈上產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）由于兩種情況燈均正常發(fā)光，這樣就能求出路端電壓和電路中的電流，由閉合電路的歐姆定律能求出電源電動(dòng)勢．而此電動(dòng)勢是由導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的，由導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線的電動(dòng)勢公式就能轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比．
（2）由于安培力F_A=BIL，即與電流成正比，再由題意${F}_{A}=\frac{2r}{l}{F}_{T}$，所以繩子的拉力F_T也與電流成正比，勻速下降時(shí)，F(xiàn)_T與重力相等，所以電流之比就是所掛鉤碼的個(gè)數(shù)之比．
（3）由能量守恒定律，燈與導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的總熱量來源于鉤碼減小的機(jī)械能．轉(zhuǎn)5圈減小的重力勢能很容易計(jì)算，而難點(diǎn)在于增加的動(dòng)能，所以關(guān)鍵點(diǎn)要求出最后鉤碼下降的速度．當(dāng)最后鉤碼勻速下降時(shí)，重力的功率等于電路消耗的總電功率，即mgv=E₁I，所以很快求出鉤碼勻速下降的速度．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感應(yīng)線初速度感應(yīng)電動(dòng)勢為：$E=Bl\overline{v}=Bl•\frac{1}{2}lω=\frac{1}{2}B{l}^{2}ω$，
   當(dāng)一盞燈泡正常發(fā)光時(shí)，電流強(qiáng)度為：I=$\frac{P}{U}=\frac{2}{2}A=1A$，
  此時(shí)電動(dòng)勢為：E₁=U+IR₀=2V+1×2V=4V，
  同理可得，當(dāng)兩盞燈泡正常發(fā)光時(shí)的電流強(qiáng)度為2I=2A，
  電動(dòng)勢：E₂=U+2IR₀=2V+2×2V=6V；
  所以導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比是：ω₁：ω₂=E₁：E₂=2：3．
（2）當(dāng)兩盞燈正常發(fā)光時(shí)，由上述計(jì)算知通過導(dǎo)體棒的電流：I′=2I=2A，
   導(dǎo)體棒受到的安培力：F_A=BI′$\overline{L}$=BI′×$\frac{1}{2}l$=B•2I•$\frac{1}{2}l$，
   由題干部分，當(dāng)拉一盞燈時(shí)，燈逐漸變亮最后正常發(fā)光，此時(shí)導(dǎo)體棒受到安培力：F_A1=BI$\frac{1}{2}l$，
  由題設(shè)當(dāng)棒速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：${F}_{A}=\frac{2r}{l}{F}_{T}$，${F}_{A1}=\frac{2r}{l}{F}_{T1}$，
  聯(lián)立上述幾式式得：$\frac{{F}_{T}}{{F}_{T1}}=\frac{{F}_{A}}{{F}_{A1}}═\frac{2}{1}$，
  而F_T1=1×mg，所以：F_T=2×mg   即要使兩盞燈正常發(fā)光，應(yīng)掛兩個(gè)鉤砝．
（3）接入一盞燈線圈轉(zhuǎn)動(dòng)5圈時(shí)燈已正常發(fā)光．則此過程消耗的總機(jī)械E_機(jī)=mg×5×2πr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
  一個(gè)燈正常發(fā)光時(shí)：mgv=E₁I，從而得到掛一個(gè)鉤碼時(shí)最后勻速下降的速度：$v=\frac{{E}_{1}I}{mg}=\frac{4×2}{0.2×10}m/s$=4m/s，
  代入上式得到E_機(jī)=0.4J．
這些消耗的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為電阻和燈的熱量，由于燈的電阻${R}_{L}=\frac{{U}^{2}}{{P}_{L}}=\frac{{2}^{2}}{2}Ω=2Ω={R}_{0}$，
所以該過程燈產(chǎn)生的熱量為總熱量的一半，即0.2J．
答：（1）電路分別接一盞、兩盞燈且都能正常發(fā)光的兩種情況下，導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比是2：3．
（2）已知導(dǎo)體棒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所受到的安培力滿足F_A=$\frac{2r}{l}{F}_{T}$，其中F_T為繩子的拉力，使電路穩(wěn)定時(shí)接人的兩盞燈正常發(fā)光，應(yīng)掛兩個(gè)鉤碼．
（3）現(xiàn)在電路中接入一盞燈，細(xì)線掛一個(gè)鉤碼并由靜止釋放，在導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)5圈時(shí)，燈已正常發(fā)光，此過程中燈上產(chǎn)生的熱量Q為0.2J．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于第三問，在轉(zhuǎn)5圈過程中燈上產(chǎn)生的熱量，因?yàn)檫@個(gè)過程是非勻變速運(yùn)動(dòng)，電流也是變化的．只能從能量的角度去考慮，減少的機(jī)械能中有增加的動(dòng)能，求速度看起來是難點(diǎn)，但最后勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力的功率等于總的電功率，這樣求增加的動(dòng)能也迎刃而解，這些減少機(jī)械能分成相等兩部分消耗在導(dǎo)體和燈上．