Question

滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)非常刺激的水上運(yùn)動(dòng)．研究表明，在進(jìn)行滑板運(yùn)動(dòng)時(shí)，水對(duì)滑板的作用力F_x垂直于板面，大小為kv²，其中v為滑板速率（水可視為靜止）．某次運(yùn)動(dòng)中，在水平牽引力作用下，當(dāng)滑板和水面的夾角為θ=37°時(shí)（如圖），滑板做勻速直線運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的k=54kg/m，人和滑板的總質(zhì)量為108kg．（取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.8忽略摩擦阻力和空氣阻力）試求：
（1）水平牽引力的大��；
（2）滑板的速率；
（3）水平牽引力的功率．
（4）滑板在水平牽引力作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為v時(shí)，水平牽引力的功率P將是多大？

Answer 1

分析：（1）對(duì)滑板和人整體受力分析，然后運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件列式求解；
（2）根據(jù)平衡條件求出支持力后，根據(jù)題中的支持力和速度關(guān)系公式求解滑板的速率；
（3）直接根據(jù)功率與速度和牽引力關(guān)系公式求解．
（4）對(duì)滑板和人整體受力分析，重力、支持力和拉力，其中支持力與水面的夾角會(huì)變化，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解．

解答：解：（1）以滑板和運(yùn)動(dòng)員為研究對(duì)象，其受力如圖所示

由共點(diǎn)力平衡條件可得
F_Ncosθ=mg ①
F_Nsinθ=F ②
由①、②聯(lián)立，得
F=810N
即水平牽引力的大小810N．
（2）由①式
F_N=

mg

cosθ

根據(jù)題意
F_N=kv²得
v=

mg kcosθ

=5m/s
即滑板的速率為5m/s．
（3）根據(jù)功率與速度和牽引力關(guān)系公式，牽引力的功率為
P=Fv=4050W
即水平牽引力的功率4050W．
（4）當(dāng)速率為v時(shí)，支持力為：F_N=kv²；
根據(jù)平衡條件，拉力為：F=

F 2 N -(mg)2

=

(kv2)2-m2g2

；
故牽引力功率：P=Fv=

(kv2)2-m2g2

?v=54v

v4-400

；
答：（1）水平牽引力的大小為810N；
（2）滑板的速率為5m/s；
（3）水平牽引力的功率為4050N．
（4）滑板在水平牽引力作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為v時(shí)，水平牽引力的功率P是54v

v4-400

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是對(duì)物體受力分析，運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件求出各個(gè)力后，再根據(jù)題意求解速度和牽引力的功率．