Question

18．如圖所示，ABCDF為一絕緣光滑軌道，豎直放置在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．AB面水平，BCDF是半徑為R的圓形軌道，B為圓心正下方的最低點(diǎn)，D為圓心正上方的最高點(diǎn)．今有一個(gè)帶正電小球在電場(chǎng)力作用下由靜止從A點(diǎn)開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，小球受到的電場(chǎng)力和重力大小相等，小球的電量為q．求：
（1）若AB間的距離為4R，則小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能有多大？
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)的對(duì)軌道的壓力有多大？
（3）若小球能沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)接近水平軌道的F點(diǎn)．則AB間的距離至少要多大？

Answer 1

分析 （1）小球在重力和電場(chǎng)力的復(fù)合場(chǎng)中，有一個(gè)等效最高點(diǎn)與等效最低點(diǎn)，當(dāng)小球在等效最低點(diǎn)的時(shí)候，小球的動(dòng)能最大；
（2）要使小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理以及牛頓第二定律即可解答；
（3）使小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在“最高”點(diǎn)不脫離圓環(huán)．這“最高”點(diǎn)并不是D點(diǎn)，可采用等效重力場(chǎng)的方法進(jìn)行求解．對(duì)小球受力分析可知，小球在混合場(chǎng)中的最高點(diǎn)，此時(shí)小球的速度應(yīng)該為零，在由動(dòng)能定理可以求得AB間的距離．

解答 解：（1）重力場(chǎng)和電場(chǎng)合成等效重力場(chǎng)，其方向?yàn)殡妶?chǎng)力和重力的合力方向，與豎直方向的夾角（如圖所示）$tanθ=\frac{mg}{qE}=1$
得：θ=45°
所以小球在BC之間且小球與圓心連線(xiàn)與豎直方向成θ=45°的位置動(dòng)能最大         
（2）從A點(diǎn)到最高點(diǎn)D，據(jù)動(dòng)能定理有：
$Eq4R-mg2R=\frac{1}{2}m{v^2}$
$v=2\sqrt{gR}$
在D點(diǎn)重力和軌道的支持力提供向心力，則：
${F}_{N}+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：F_N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力也�?mg
（3）等效重力加速度：$g'=\frac{F_合}{m}=\frac{{\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（qE）}^2}}}}{m}=\sqrt{2}g$
在等效重力場(chǎng)的“最高”點(diǎn)，小球剛好不掉下來(lái)時(shí)有：$mg'=m\frac{v^2}{R}$$v=\sqrt{gR'}=\sqrt{\sqrt{2}Rg}$
從A到等效重力場(chǎng)的“最高”點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：$qE（L-Rsin{45^O}）-mg（R+Rcos{45^O}）=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：$L=\frac{{mgR（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}mgR+qE\frac{{\sqrt{2}}}{2}R}}{qE}=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）R$
答：（1）小球在BC之間且小球與圓心連線(xiàn)與豎直方向成θ=45°的位置動(dòng)能最大；
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力是3mg；
（3）AB間的距離至少為$（1+\frac{3\sqrt{2}}{2}）R$．

點(diǎn)評(píng) 考查圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的最小速度，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理解題．小球在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵分析清楚小球的受力的情況，找到小球在混合場(chǎng)中的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)時(shí)球的速度的大小是最小的．