Question

如圖所示，質(zhì)量為M且足夠長(zhǎng)的木板在光滑的水平面上，其右端有一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．勁度系數(shù)為k的水平輕彈簧的右端O固定不動(dòng)，其自由端A與滑塊之間的距離為L(zhǎng)．現(xiàn)給木板以水平向右的瞬時(shí)速度v₀，滑塊將由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，與彈簧接觸后經(jīng)過(guò)時(shí)間t，滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到最大，設(shè)滑塊的速度始終小于木板的速度，彈簧的形變是在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）滑塊剛接觸彈簧時(shí)滑塊的速度v₁大小和木板的速度v₂大�。�
（2）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到最大值的過(guò)程中．彈簧對(duì)滑塊所做的功W；
（3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度最大值v_m及其速度最大時(shí)滑塊與木板的右端之間的距離s．

Answer 1

分析：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動(dòng)摩擦力作用下由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求得滑塊的速度v₁，對(duì)滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律可以求得木板的速度v₂；
（2）滑塊接觸彈簧向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值，可以求出此時(shí)彈簧的被壓縮的長(zhǎng)度，由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長(zhǎng)度成正比，故可根據(jù)公式求得W；
（3）對(duì)木板用動(dòng)量定理可以算出木板的速度，再對(duì)滑塊和木板分別用動(dòng)能定理即可解出．

解答：解：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動(dòng)摩擦力作用下由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)了L距離，
       由動(dòng)能定理得；μmgL=

1

2

mv12解得：v₁=

2μgL

       對(duì)滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：Mv₀=Mv₂+mv₁
       解得：v₂=v₀-

m

M

2μgL

（2）滑塊接觸彈簧向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值，此時(shí)彈簧的被壓縮的長(zhǎng)度為x，則：
       μmg=kx解得：x=

μmg

k

由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長(zhǎng)度成正比，所以有W=-

1

2

kx? x=-

μ2m2g2

2k

（3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大值時(shí)，設(shè)滑塊的最大速度為v_m時(shí)木板速度大小為v，在彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為x的過(guò)程中，
      對(duì)木板由動(dòng)量定理得：
-μmgt=M（v-v₂）
    解得：v=v₀-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

    分別對(duì)滑塊和木板用動(dòng)能定理得：
     μmgx+W=

1

2

m vm2-

1

2

mv12
-μmg（L+x+s）=

1

2

Mv 2 -

1

2

Mv02
     解得：v_m=

μ2mg2 k +2μgL

           s=

M

2μmg

[v02-( v0-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

)2] -

μmg

k

-L
答：（1）滑塊剛接觸彈簧時(shí)滑塊的速度v₁大小為

2μgL

，木板的速度v₂大小為v₀-

m

M

2μgL

；
    （2）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到最大值的過(guò)程中，彈簧對(duì)滑塊所做的功W為-

μ2m2g2

2k

；
    （3）滑塊向右運(yùn)動(dòng)的速度最大值v_m為

μ2mg2 k +2μgL

，其速度最大時(shí)滑塊與木板的右端之間的距離s為

M

2μmg

[v02-(v0-

m

M

2μgL

-

μmgt

M

)2] -

μmg

k

-L．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，難度較大，要求同學(xué)們能夠根據(jù)題目要求正確選取研究對(duì)象和研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理解題，該題要注意當(dāng)滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力和彈簧彈力相等時(shí)，加速度為0，此時(shí)速度達(dá)到最大值．