Question

1．如圖所示為“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在月球上著陸最后階段的示意圖．首先在發(fā)動(dòng)機(jī)作用下，探測(cè)器受到推力在距月面高度為h₁處懸停（速度為0，h₁遠(yuǎn)小于月球半徑），接著推力改變，探測(cè)器開(kāi)始豎直勻加速下降（加速度小于月球表面的重力加速度），到達(dá)距月面高度為h₂處的速度為v，此后發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，探測(cè)器僅受重力下落到月面．已知探測(cè)器總質(zhì)量為m（不計(jì)燃料的質(zhì)量），地球和月球的半徑比為k₁，質(zhì)量比為k₂，地球表面的重力加速度為g，求
（1）月球表面附近的重力加速度g₁的大��；
（2）改變推力后的推力F的大�。�
（3）探測(cè)器剛接觸月球時(shí)的速度v₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)星球表面重力等于萬(wàn)有引力求解重力加速度；
（2）根據(jù)速度位移關(guān)系公式以及牛頓第二定律即可求出推力；
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求解探測(cè)器剛接觸月球時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量和半徑分別為M和R，月球的質(zhì)量、半徑和表面的重力加速度分別為M′、R′和g′，探測(cè)器剛接觸月球表面時(shí)的速度大小為v₁；
由mg′=G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$和mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
得：g′=$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$
（2）改變推力后，由牛頓第二定律得：
mg₁-F=ma    
有：v²=2a（h₁-h₂）
聯(lián)立得：F=$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}}mg-\frac{m{v}^{2}}{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}$
（3）由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：${v}_{1}^{2}-{v}^{2}=2{g}_{1}{h}_{2}$
解得：v₁=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}g{h}_{2}}{{k}_{2}}}$；
答：（1）月球表面附近的重力加速度g₁的大小是$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$；
（2）改變推力后的推力F的大小是$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}}mg-\frac{m{v}^{2}}{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}$；
（3）探測(cè)器剛接觸月球時(shí)的速度v₁的大小是$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}g{h}_{2}}{{k}_{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確探測(cè)器的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和萬(wàn)有引力定律列方程求解，不難．