Question

如圖甲所示，斜面與水平面間的夾角θ可以隨意改變，可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊從斜面的底端以大小恒定的初速率v₀沿斜面向上運(yùn)動，所能上升的最大距離記為s．今改變θ而使s隨之改變，根據(jù)所測量的若干組數(shù)據(jù)可以描述出“s-θ”曲線如圖乙所示．若斜面足夠長，取g=10m/s²，試根據(jù)“s-θ”曲線和相關(guān)的物理規(guī)律，分析求解：
（1）從圖中讀出θ=

π

2

時(shí)物體運(yùn)動的最大距離，并分析θ=

π

2

時(shí)物體的運(yùn)動；
（2）小物塊的初速率v₀；
（3）小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)?；
（4）對應(yīng)“s-θ”曲線上s取最小值的P點(diǎn)的坐標(biāo)值（θ₀，s_min）

Answer 1

分析：（1）由圖象可求出θ=

π

2

時(shí)，物體的運(yùn)動最大距離，然后分析物體的運(yùn)動情況；
（2）根據(jù)θ=

π

2

時(shí)物體的最大位移，應(yīng)用勻變速運(yùn)動的速度位移公式求出物體的初速度；
（3）由圖象可知，當(dāng)θ₂=0時(shí)，x₂=10m，當(dāng)木板水平時(shí)，由動能定理得列出等式求解小木塊與木板間的動摩擦系數(shù)．
（4）當(dāng)木板與水平方向夾角為θ時(shí)，木塊沿木板上滑的距離為x，由動能定理列出等式求解．

解答：解：（1）由圖象可知，當(dāng)θ₁=

π

2

時(shí)，x₁=5m，此時(shí)物體做豎直上拋運(yùn)動；
（2）當(dāng)θ₁=

π

2

時(shí)，x₁=5m，物體做豎直上拋運(yùn)動，
由速度位移公式公式可得：v₀²-0=2gx₁，v₀=

2gx1

=

2×10×5

=10m/s；
（3）由圖象可知，當(dāng)θ₂=0時(shí)，x₂=5

3

m，此時(shí)木板水平，
由動能定理得：-μmgx₂=0-

1

2

mv₀²，解得：μ=

3

3

；
（4）當(dāng)板與水平方向夾角為θ時(shí)，沿斜面上滑的距離為s，由動能定理得：-mgssinθ-μmgscosθ=0-

1

2

mv₀²，
即s=

v 2 0

2g(sinθ+μcosθ)

，
令a=sinθ+μcosθ=

1+μ2

（

1

1+μ2

sinθ-

μ

1+μ2

cosθ），
設(shè)cosα=

1

1+μ2

，則a=

1+μ2

sin（α+θ），α+θ=

π

2

時(shí)，
a存在最大值，a_m=

1+( 3 3 )2

=

2 3

3

，sinθ₀=cosα=

1

1+μ2

=

1

1+( 3 3 )2

=

3

2

，
θ₀=arsin

3

2

，對應(yīng)s的最小值為s_min=

v 2 0

2gam

=

102

2×10× 2 3 3

=

5 3

2

m；
P點(diǎn)的坐標(biāo)值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．
答：（1）從圖中讀出θ=

π

2

時(shí)物體運(yùn)動的最大距離為5m，θ=

π

2

時(shí)物體做豎直上拋運(yùn)動；
（2）小物塊的初速率為10m/s；
（3）小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為

3

3

；
（4）對應(yīng)“s-θ”曲線上s取最小值的P點(diǎn)的坐標(biāo)值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵能夠運(yùn)用x-θ曲線的特殊值，選擇物理規(guī)律解決問題．
了解研究對象的運(yùn)動過程是解決問題的前提，選取研究過程，運(yùn)用動能定理解題．