Question

如圖所示，一光滑的半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，并和一粗糙的斜面相接，其半徑大小為R=0.4m，直徑BC在豎直方向上，一小物體放在斜面上的A點(diǎn)，離水平面高度為h=3m，小物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，斜面傾角θ=37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，現(xiàn)在把小物體從靜止開始自由釋放，求
（1）小物體運(yùn)動(dòng)到斜面底端B點(diǎn)時(shí)速度的大��？
（2）證明小物體可以沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C；
（3）小物體離開半圓軌道后第一次落到斜面上時(shí)，其速度v的大小．

Answer 1

分析：（1）對(duì)從A到B過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可；
（2）先根據(jù)牛頓第二定律求解小球在C點(diǎn)的最小速度，然后對(duì)從B到C過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解C點(diǎn)的實(shí)際速度進(jìn)行比較；
（3）小物體離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，先根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式；再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式；后結(jié)合幾何關(guān)系得到兩個(gè)分位移與2R的關(guān)系；最后聯(lián)立求解．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：mgh-fsAB=

1

2

m

v

2 B

        ①
又：f=μmgcosθ                               ②
S_AB=

h

sin37°

                                  ③
解得：
vB=

20

=4.5(m/s)                           ④
（2）小物體在C點(diǎn)，有：
N+mg=

m v 2 C

R

                               ⑤
當(dāng)N=0時(shí)，V_c有最小值，可得：
vC≥

gR

=2(m/s)                           ⑥
從B到C，由機(jī)械能守恒，可得：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg2R                        ⑦
解得：V_c=2（m/s）                          ⑧
（3）設(shè)落到斜面時(shí)水平位移為S，下落高度為h，由動(dòng)能定理：

1

2

m

v

2 C

=

1

2

mv2+mgh                         ⑨
又根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式，有：
S=v_Ct
h=

1

2

gt2
∴S=vC

2h g

                              ⑩
結(jié)合幾何關(guān)系，有：h+stanθ=2R            （11）
聯(lián)立可得：v=3.2m/s
答：（1）小物體運(yùn)動(dòng)到斜面底端B點(diǎn)時(shí)速度的大小為4.5m/s；
（2）證明如上；
（3）小物體離開半圓軌道后第一次落到斜面上時(shí)，其速度v的大小為3.2m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確小物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先圓周運(yùn)動(dòng)再平拋運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．