Question

（2011?安徽一模）如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點(diǎn)平滑連接．在過圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為+q的小球從水平軌道上A點(diǎn)由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)離開圓軌道后，經(jīng)界面MN上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)（P點(diǎn)恰好在A點(diǎn)的正上方，如圖．小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)之前電量保持不變，經(jīng)過C點(diǎn)后電量立即變?yōu)榱悖�．已知A、B間距離為2R，重力加速度為g．在上述運(yùn)動(dòng)過程中，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)最大速率；
（3）小球?qū)�圓軌道的最大壓力的大�。�

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球從A到C過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式；小球從C平拋運(yùn)動(dòng)到P過程，對(duì)水平和豎直分運(yùn)動(dòng)分別根據(jù)位移公式列式；
（2）小球在圓弧右下段某個(gè)位置速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理求出速度的一般表達(dá)式，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求最大值；
（3）當(dāng)速度最大時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力最大，根�?jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解．

解答：解：（1）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，
小球過C點(diǎn)時(shí)速度大小為v_c，
小球從A到C由動(dòng)能定理：
qE?3R-mg?2R=

1

2

mvc2
小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)：
R=

1

2

gt2
2R=v_ct
聯(lián)立方程解得：
E=

mg

q

即電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

mg

q

．
（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到圓周D點(diǎn)時(shí)速度最大為v，
此時(shí)OD與豎直線OB夾角設(shè)為α，
小球從A運(yùn)動(dòng)到D過程，
根據(jù)動(dòng)能定理：
qE(2R+Rsinα)-mgR(1-cosα)=

1

2

mv2
即：

1

2

mv2=mgR(sinα+cosα+1)
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得，
當(dāng)α=45⁰時(shí)動(dòng)能最大   
由此可得：vm=

(2+2 2 )gR

即小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)最大速率為

(2+2 2 )gR

．
（3）由于小球在D點(diǎn)時(shí)速度最大且電場(chǎng)力與重力的合力恰好沿半徑方向，
故小球在D點(diǎn)對(duì)圓軌道的壓力最大，
設(shè)此壓力大小為F，
由牛頓第三定律可知小球在D點(diǎn)受到的軌道彈力大小也為F，在D點(diǎn)對(duì)小球進(jìn)行受力分析，并建立如圖所示坐標(biāo)系

由牛頓第二定律：
F-qEsinα-mgcosα=m

v 2 m

R

解得：F=(2+3

2

)mg
即小球?qū)�圓軌道的最大壓力的大小(2+3

2

)mg．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵靈活地選擇過程并運(yùn)用動(dòng)能定律列式，同時(shí)根據(jù)向心力公式和平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式列式進(jìn)一步分析求解．