Question

18．如圖，豎直面內(nèi)坐標(biāo)系xOy第一、三象限角平分線A₁A₂右側(cè)場(chǎng)區(qū)有勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B．平行板M、N如圖放置，M板帶正電，帶負(fù)電的N板在x軸負(fù)半軸上．N板上有一小孔P離原點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)，兩板間距為L(zhǎng)．板間電壓U=$\frac{mgL}{q}$．質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子由板間P孔正上方不同位置靜止釋放，豎直向下穿過P孔進(jìn)入平分線A₁A₂右側(cè)場(chǎng)區(qū)恰好能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．求：
（1）虛線A₁A₂右側(cè)區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向．
（2）若粒子第一次離開場(chǎng)區(qū)時(shí)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其離開時(shí)的速度為多大？
（3）從P孔正上方靠近M板由靜止釋放粒子，當(dāng)粒子離開小孔P后立即撤去平行板M、N，求釋放后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間粒子可第二次進(jìn)入A₁A₂右側(cè)場(chǎng)區(qū)？

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力應(yīng)等于重力，據(jù)此求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子軌道半徑，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子的速度；
（3）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)過程求出粒子在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
則必須滿足：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
（2）粒子第一次離開場(chǎng)區(qū)時(shí)在坐標(biāo)原點(diǎn)其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可知，粒子軌道半徑：r=L，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBL}{m}$；
（3）粒子在極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理得：（q$\frac{U}{L}$+mg）L=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
粒子在極板間做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移：L=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₁，
粒子離開極板進(jìn)入場(chǎng)區(qū)過程中，由動(dòng)能定理得：mgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移：L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$t₂，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₃=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$，
粒子離開場(chǎng)區(qū)后做平拋運(yùn)動(dòng)，$\frac{1}{2}$gt₄²=v₂t₄，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃+t₄，
解得：t=$\sqrt{\frac{54L}{g}}$-$\sqrt{\frac{L}{g}}$+$\frac{3πm}{2qB}$；
答：（1）虛線A₁A₂右側(cè)區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上．
（2）若粒子第一次離開場(chǎng)區(qū)時(shí)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其離開時(shí)的速度為$\frac{qBL}{m}$；
（3）從P孔正上方靠近M板由靜止釋放粒子，當(dāng)粒子離開小孔P后立即撤去平行板M、N，釋放后經(jīng)過時(shí)間：$\sqrt{\frac{54L}{g}}$-$\sqrt{\frac{L}{g}}$+$\frac{3πm}{2qB}$粒子可第二次進(jìn)入A₁A₂右側(cè)場(chǎng)區(qū)．

點(diǎn)評(píng) 粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力合力為零，洛倫茲力提供向心力，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、牛頓第二定律、動(dòng)能定理即可正確解題．