Question

我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影）。

Answer 1

   

解析:

如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點。衛(wèi)星在上運動時發(fā)出的信號被遮擋。

設探月衛(wèi)星的質量為m₀,萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有

          ①

        ②

式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉動的周期。由①②式得           ③

設衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，應有

                                   ④

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由幾何關系得

           ⑤                  ⑥

由③④⑤⑥式得          ⑦

評分參考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到結果

的也同樣給分。