Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為3L的等邊三角形APC區(qū)域存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．D、E、F三點(diǎn)分別在PC、CA、AP邊上，AF=PD=CE=L．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電離子（不計(jì)重力），從F點(diǎn)以速度v向三角形內(nèi)射人．
（1）如果速度v方向與PC邊平行，離子第一次到分界線就經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，則速度v的大小是多少？
（2）保持速度v的方向與PC邊平行，改變速度v的大小，試求PC邊上離子出射的可能范圍（要求明確PC邊上離子出射的范圍左右端點(diǎn)分別與P點(diǎn)的距離）．
（3）假設(shè)三角形區(qū)域外存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小同為B，方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．改變速度的大小和方向（速度的方向均在紙平面內(nèi)），使離子第一次、第二次到達(dá)分界線時(shí)依次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和E點(diǎn)．求離子周期性運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系確定粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與三角形區(qū)域的關(guān)系；
（2）同樣是根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡，利用幾何關(guān)系求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求出粒子在PC邊上射出的可能范圍；
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，能使離子第一次、第二次達(dá)到分界線時(shí)依次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和E點(diǎn)，根據(jù)左手定則由磁場(chǎng)方向確定粒子的繞行方向，從而作出粒子滿足題意的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子完成一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間即可．

解答：解：（1）帶是離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，可得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r=

FD

2

=

(2L)2-L2

2

=

3

2

L
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：
qvB=m

v2

r

可得：v=

qBr

m

=

3 qBL

2m

（2）帶電離子從PC邊射出的兩條臨界運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由圖可知離子在PC邊上出射的左端點(diǎn)為D，得：PD=L；
離子在PC邊上出射的右端點(diǎn)為G，得：PG=L+r₂
由幾何關(guān)系可得：r2=FD=

(2L)2-L2

=

3

L
所以可得：PG=(

3

+1)L
PC邊上離子出射的可能范圍為D點(diǎn)的右側(cè)到G點(diǎn)之間；
（3）連接DEF，可得△DEF是等邊三角形，當(dāng)離子沿∠DFE的角平分線方向射入時(shí)，離子才能依次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)、E點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)各段軌跡依次是a、b、c、d、e、f回到F點(diǎn)，完成一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)，如圖所示：
離子一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的路徑為3個(gè)圓的周長(zhǎng)，所以其運(yùn)動(dòng)的周期
T=

6πm

qB

答：（1）如果速度v方向與PC邊平行，離子第一次到分界線就經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，則速度v的大小為

3 qBL

2m

（2）保持速度v的方向與PC邊平行，改變速度v的大小，試求PC邊上離子出射的可能范圍為D到G點(diǎn)之間即距P點(diǎn)的距離范圍為[L，

3

L]
（3）假設(shè)三角形區(qū)域外存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小同為B，方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．改變速度的大小和方向（速度的方向均在紙平面內(nèi)），使離子第一次、第二次到達(dá)分界線時(shí)依次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和E點(diǎn)．離子周期性運(yùn)動(dòng)的周期為

6πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：磁場(chǎng)中粒子受洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是理解題目給出的條件，作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用幾何關(guān)系求出粒子滿足條件的運(yùn)動(dòng)半徑，從而求出題目中的未知量，這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵和入手點(diǎn)．由幾何關(guān)系得出物理量間的關(guān)系是一個(gè)基本能力．