Question

如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37^o，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道。a、b為兩完全相同的小球，a球由靜止從A點釋放，在C處與b球發(fā)生彈性碰撞。已知AB長為5R，CD長為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動摩擦因數(shù)均為0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R。求：

⑴a球滑到斜面底端C時速度為多大？a、b球在C處碰后速度各為多少？
⑵要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，兩球最后所停位置距D（或E）多遠？
注：在運算中，根號中的數(shù)值無需算出。

Answer 1

⑴ ； ，   ⑵或；b球?qū)⑼Ｔ贒點左側(cè)，距D點0.6R處， a球停在D點左側(cè)，距D點R處。

試題分析：（1）設(shè)a球到達C點時速度為v，a球從A運動至C過程，由動能定理有
    ①
可得       ②
b球在C發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒，設(shè)a、b碰后瞬間速度分別為、，則有�、�
�、�
由②③④可得   
   ⑤
可知，a、b碰后交換速度，a靜止，b向右運動。
（2）要使小球b不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道。則小球b在最高點P應(yīng)滿足     ⑥

小球b碰后直到P點過程，由動能定理，有
   ⑦
由⑤⑥⑦式，可得 
情況二：小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D。則由動能定理有   ⑧
由⑤⑧式，可得    
若，由上面分析可知，b球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過DC軌道與a球碰撞，且a球到達B點，在B點的速度為,，由于a、b碰撞無能量損失，則由能量守恒定律有      ⑨
由⑤⑨式，可得   
故知，a球不能滑回傾斜軌道AB，a、b兩球?qū)⒃贏、Q之間做往返運動，最終a球?qū)⑼Ｔ贑處，b球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處。設(shè)b球在CD軌道上運動的總路程為S，由于a、b碰撞無能量損失，則由能量守恒定律，有       ⑩
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點左側(cè)，距D點0.6R處， a球停在D點左側(cè)，距D點R處。
點評：彈性碰撞一般要用動量守恒和碰撞前后動能不變列表達式求解，本題中還要注意小球不脫離軌道有兩種情況，其中上升到與圓心等高速度減小為零的情況容易忽視。