Question

（1）“嫦娥一號(hào)”正在探測(cè)月球，若把月球和地球都視為質(zhì)量均勻的球體，已知月球和地球的半徑之比r₁：r₂=1：3.6，月球表面和地球表面的重力加速度之比g₁：g₂=1：6，根據(jù)以上數(shù)據(jù)及生活常識(shí)，試估算：分別繞月球和地球運(yùn)行的同步衛(wèi)星的軌道半徑之比R₁：R₂（結(jié)果可以保留根號(hào)）
（2）若取月球半徑r₁=1.7×10³km，月球表面處重力加速度g₁=1.6m/s²，設(shè)想今后開(kāi)發(fā)月球的需要而設(shè)法使月球表面覆蓋一層一定厚度的大氣層，使月球表面附近的大氣壓也等于p₀=1.0×10⁵Pa，且大氣層厚度比月球半徑小得多，試估算應(yīng)給月球表面添加的大氣層的總質(zhì)量M．（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）月球的自轉(zhuǎn)周期約為30天，地球的自轉(zhuǎn)周期為1天，無(wú)論在地球還是在月球表面，都有物體的重力約等于其萬(wàn)有引力，同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，萬(wàn)有引力充當(dāng)其向心力，
（2）大氣層厚度比月球半徑小得多，可認(rèn)為大氣緊貼月球表面，大氣層穩(wěn)定時(shí)，大氣壓強(qiáng)從宏觀上看等于大氣重力在單位月球表面的壓力

解答：解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M₁，地球質(zhì)量為M₂，則質(zhì)量為m的物體分別在月球和地球表面時(shí)的重力與萬(wàn)有引力相等，有：

GM1m

r 2 1

=mg₁

GM2m

r 2 2

=mg₂
而且，M₁=ρ₁

4

3

πr

3 1

M₂=ρ₂

4

3

πr

3 2

對(duì)于同步衛(wèi)星，由牛頓第二定律得：

GM1m

R 2 1

=mR₁(

2π

T1

)2

GM2m

R 2 2

=mR₂(

2π

T2

)2
其中，T₁=30天，T₂=1天
由以上解得，

R1

R2

=

3	12

（2）大氣層穩(wěn)定時(shí)，大氣壓強(qiáng)從宏觀上看等于大氣重力在單位月球表面的壓力，即：
p₀=

Mg1

4 πr 2 1

所以，M=

4 πr 2 1 p0

g1

=

1.0×105×4×3.14×(1.7×106)2

1.6

kg=2.3×10¹⁸kg
答：（1）軌道半徑之比為

3	12

（2）大氣層的總質(zhì)量M為2.3×10¹⁸kg

點(diǎn)評(píng)：（1）注意利用隱含信息，月球的自轉(zhuǎn)周期約為30天，地球的自轉(zhuǎn)周期為1天，球體的體積公式V=

4

3

πr³，球體的表面積公式S=4πr²（2）要靈活選用向心力的各種表達(dá)式（3）“同步”是指衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與中心天體的自轉(zhuǎn)周期相同