Question

勁度系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置在地面上，其上端固定有質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止狀態(tài)，如圖甲所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發(fā)生碰撞，碰撞時間極短且無機械能損失．已知M=3m，彈簧振子的周期T=2π

M/k

．
（1）求小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，小球的速度v₁和鋼板的速度v₂．
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），求鋼板質(zhì)量的最大值．
（3）以小球自由下落的瞬間為計時起點，以向下為正方向，以

v0

g

的值作為1個時間單位（v₀為小球第一次剛落到鋼板時的速度值）．試在圖乙中畫出小球的v-t圖線；要求至少畫出小球與鋼板發(fā)生第三次碰撞前的圖線）．

Answer 1

分析：（1）小球碰前做自由落體運動，碰撞過程系統(tǒng)動量和機械能均守恒，根據(jù)守恒定律列式后聯(lián)立求解即可；
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰，則小球返回時間為鋼板簡諧運動半周期的奇數(shù)倍，根據(jù)等時性列式后聯(lián)立求解；
（3）根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律聯(lián)立求解出第二次碰撞后小球和鋼板的速度，同理再求解第二次碰撞后小球和鋼板的速度，…，最后做v-t圖象．

解答：解：（1）設(shè)小球落至鋼板時速度為v₀，
由機械能守恒定律得　　mgH=

1

2

mv₀²　　　　              ①
碰撞過程中動量守恒　　mv₀=mv₁+Mv₂　　　　　　  　　　�、�
機械能無損失　　　　　

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²=

1

2

mv₀² 　　 　　　�、�
聯(lián)立求解得 　　
v0=

2gH

                                      ④
小球的速度v₁=-

1

2

v₀=-

1

2

2gH

，負號表示方向向上   　�、�
鋼板的速度v₂=

1

2

v₀=

1

2

2gH

，方向豎直向下  　　　　　 ⑥
（2）由（1）可知，碰撞后小球做豎直上拋運動，鋼板（連同彈簧）以

1

2

v₀向下做簡諧運動，要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則小球重新落回到O處所用的時間應(yīng)滿足：
t=nT+

1

2

T　　　                                     ⑦
當M取最大值時，有：t=

1

2

T　　　　　　　　　　　　　　　�、�
小球做豎直上拋運動，有　　t=

v0

g

　　　　　　　　　　　�、�
已知　　　　　　T=2π

M k

聯(lián)立求解得　　　　M=

2kH

gπ2

⑩
（3）小球與鋼板的第二次碰撞應(yīng)滿足

1

2

mv₀-

1

2

Mv₀=mv₃+Mv₄

1

2

m（

1

2

v₀）²+

1

2

M（

1

2

v₀）²=

1

2

mv₃²+

1

2

Mv₄²
解得，v₃=-v₀，方向豎直向上；v₄=0；
當小球再次落回與鋼板發(fā)生第三次碰撞時，第三次碰撞是第一次碰撞的重復(fù)；此后過程將周而復(fù)始地進行．
小球的v-t圖線如圖所示．

答：（1）小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，小球的速度為-

1

2

2gH

和鋼板的速度為

1

2

2gH

．
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），鋼板質(zhì)量的最大值為

2kH

gπ2

．
（3）小球的v-t圖線如圖所示．

點評：本題關(guān)鍵明確小球和鋼板的運動規(guī)律，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律多次列式后聯(lián)立求解，第二問找出臨界情況是關(guān)鍵，第三問找出重復(fù)性是關(guān)鍵．