Question

（2012年4月四川綿陽(yáng)二模）如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)、間距為d的光滑平行金屬導(dǎo)軌，其所在平面與水平面夾角為θ，導(dǎo)軌平面內(nèi)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小b方向垂直于斜面向上，ab與cd之間相距為L(zhǎng)₀金屬桿甲、乙的阻值相同，質(zhì)量均為m,甲桿在磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導(dǎo)軌垂直。靜止釋放兩桿的同時(shí)，在甲桿上施加一個(gè)垂直于桿平行于導(dǎo)軌的外力F，使甲桿在有磁場(chǎng)的矩形區(qū)域內(nèi)向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度大小甲離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)撤去F，乙桿進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，然后離開(kāi)磁場(chǎng)。

(1 )求每根金屬桿的電阻R是多大？

(2 )從釋放金屬桿開(kāi)始計(jì)時(shí)，求外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式？并說(shuō)明F的方向。

(3 )若整個(gè)過(guò)程中，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，求外力F對(duì)甲金屬桿做的功W是多少?

 

Answer 1

解：

(1) 設(shè)甲在磁場(chǎng)區(qū)域abcd內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到ab位置的時(shí)間為t₂，則

，

，    1分

t₁＜t₂，即甲離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，乙還沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)。   1分

設(shè)乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₁，乙中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，回路中的電流為I₁，則

     1分

E₁= Bdv₁      1分

I₁=E₁/2R      1分

mgsinθ = BI₁d     1分

解得    1分

(2) 從釋放金屬桿開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，甲的速度為v，甲中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，回路中的電流為I，外力為F，則

v= at      1分

E= Bdv  1分

I=E/2R     1分

F +mgsinθ－BId = ma    1分

a = 2gsinθ

解得 （0≤t≤）   1分

方向垂直于桿平行于導(dǎo)軌向下。   1分

 

(3) 甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，乙沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)甲離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度為v₀，乙沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的距離是x，甲、乙產(chǎn)生的熱量相同，設(shè)分別為Q₁，則

    1分

    2分

解得

乙在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，甲乙產(chǎn)生相同的熱量，設(shè)分別為Q ₂，則

2Q₂ = mgLsinθ    2分

根據(jù)題意有Q = Q₁ + Q₂     1分

解得  W = 2Q   1分