(2005?淮安模擬)天文工作者觀測(cè)某行星的半徑為R1,自轉(zhuǎn)周期為T(mén)1,它有一顆衛(wèi)星,軌道半徑為R2,繞行星公轉(zhuǎn)周期為T(mén)2,求:
(1)該行星的平均密度;
(2)該行星的同步衛(wèi)星的速度.
分析:1、根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以列式求出行星的質(zhì)量M,進(jìn)一步求密度;
2、該行星的同步衛(wèi)星的周期與該行星的自轉(zhuǎn)周期相同,根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G
Mm
r2
=m(
T1
)2r
,速度與周期的關(guān)系為v=
2πr
T1
,以及第一問(wèn)中求出行星質(zhì)量M,化簡(jiǎn)可得速度v.
解答:解:(1)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力:G
Mm
R
2
2
=m
4π2R2
T
2
2
-----①
得:M=
4π2
R
3
2
G
T
2
2
--------------------------②
根據(jù)密度的定義得:ρ=
M
V
=
M
4
3
π
R
3
1
=
R
3
2
G
T
2
2
R
3
1
------------③
(2)設(shè)同步衛(wèi)星軌道半徑為r,則:G
Mm
r2
=m(
T1
)2r
---------④
速度與周期的關(guān)系為v=
2πr
T1
---------------------⑤
由②④⑤式解得:v=
R2
3T1
T
2
2
---------------------⑥
答:(1)該行星的平均密度為
R
3
2
G
T
2
2
R
3
1
;
(2)該行星的同步衛(wèi)星的速度為
R2
3T1
T
2
2
點(diǎn)評(píng):解決問(wèn)題的關(guān)鍵是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,另要知道該行星的同步衛(wèi)星的周期與該行星的自轉(zhuǎn)周期相同這一點(diǎn)是解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵.
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