Question

【題目】一球形人造衛(wèi)星，其最大橫截面積為A、質(zhì)量為m，在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動．由于受到稀薄空氣阻力的作用，導致衛(wèi)星運行的軌道半徑逐漸變�。�衛(wèi)星在繞地球運轉(zhuǎn)很多圈之后，其軌道的高度下降了△H，由于△H <<R，所以可以將衛(wèi)星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動．設(shè)地球可看成質(zhì)量為M的均勻球體，萬有引力常量為G．取無窮遠處為零勢能點，當衛(wèi)星的運行軌道半徑為r時，衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)具有的勢能可表示為．

（1）求人造衛(wèi)星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動的周期；

（2）某同學為估算稀薄空氣對衛(wèi)星的阻力大小，做出了如下假設(shè)：衛(wèi)星運行軌道范圍內(nèi)稀薄空氣的密度為ρ，且為恒量；稀薄空氣可看成是由彼此不發(fā)生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來都靜止，它們與人造衛(wèi)星在很短時間內(nèi)發(fā)生碰撞后都具有與衛(wèi)星相同的速度，在與這些顆粒碰撞的前后，衛(wèi)星的速度可認為保持不變．在滿足上述假設(shè)的條件下，請推導：

①估算空氣顆粒對衛(wèi)星在半徑為R軌道上運行時，所受阻力F大小的表達式；

②估算人造衛(wèi)星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-△H的軌道的過程中，衛(wèi)星繞地球運動圈數(shù)n的表達式．

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②

【解析】

試題（1）設(shè)衛(wèi)星在R軌道運行的周期為T，

根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：

解得：

（2）①如圖所示，最大橫截面積為A的衛(wèi)星，經(jīng)過時間從圖中的實線位置運動到了圖中的虛線位置，該空間區(qū)域的稀薄空氣顆粒的質(zhì)量為

以這部分稀薄空氣顆粒為研究對象，碰撞后它們都獲得了速度v，設(shè)飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F，根據(jù)動量定理有：

根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得：

根據(jù)牛頓第三定律，衛(wèi)星所受的阻力大小F′=．

②設(shè)衛(wèi)星在R軌道運行時的速度為v1、動能為Ek1、勢能為Ep1、機械能為E1，

根據(jù)牛頓定律和萬有引力定律有：

衛(wèi)星的動能，勢能

解得：

衛(wèi)星高度下降ΔH，在半徑為（R-ΔH）軌道上運行，

同理可知其機械能

衛(wèi)星軌道高度下降ΔH，其機械能的改變量

衛(wèi)星機械能減少是因為克服空氣阻力做了功．設(shè)衛(wèi)星在沿半徑為R的軌道運行一周過程中稀薄空氣顆粒作用于衛(wèi)星的阻力做的功為W0，利用小量累積的方法可知：

上式表明衛(wèi)星在繞不同軌道運行一周，稀薄空氣顆粒所施加的阻力做的功是一恒量，與軌道半徑無關(guān)．

則ΔE=nW0

解得：