Question

如圖，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，在內(nèi)筒上均勻分布著平行于軸線的標(biāo)號(hào)1-8的八個(gè)狹縫，內(nèi)筒內(nèi)半徑為R，在內(nèi)筒之內(nèi)有平行于軸線向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在兩極間加恒定電壓，使筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向里的電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，整個(gè)裝置在真空中，粒子碰到電極時(shí)會(huì)被電極吸收．
（1）一質(zhì)量為m₁，帶電量為+q₁的粒子從緊靠外筒且正對(duì)1號(hào)縫的S點(diǎn)由靜止出發(fā)，進(jìn)入磁場(chǎng)后到達(dá)的第一個(gè)狹縫是3號(hào)縫，求兩電極間加的電壓U是多少？
（2）另一個(gè)粒子質(zhì)量為m₂，帶電量為+q₂，也從S點(diǎn)由靜止出發(fā)，該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后恰好又回到S點(diǎn)，求該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間第一次回到S點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．粒子從1號(hào)縫直接到3號(hào)縫，軌跡為

1

4

圓周，軌跡半徑等于內(nèi)筒半徑，由牛頓第二定律列式求出速度，由根據(jù)動(dòng)能定理求出加速電壓．
（2）粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫，只要穿過了狹縫，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，再重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，再回到S點(diǎn)．畫出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，共有三種可能情況：第一種：粒子依次經(jīng)過2、3、4、5、6、7、8號(hào)縫回到1號(hào)縫；第二種：粒子依次經(jīng)3、5、7號(hào)縫回到1號(hào)縫；第三種：粒子依次經(jīng)過4、7、2、5、8、3、6號(hào)縫回到1號(hào)縫．確定出軌跡的圓心角，求出總時(shí)間．

解答：解：（1）m₁粒子從S點(diǎn)出發(fā)在電場(chǎng)力作用下加速沿徑向由1號(hào)縫以速度V₁進(jìn)入磁場(chǎng)，
依動(dòng)能定理  q1U=

1

2

mV12  ①
在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力公式和牛頓定律得  qV1B=m

V12

r1

  ②
粒子從1號(hào)縫直接到3號(hào)縫，軌跡為1/4圓周，軌跡半徑等于內(nèi)筒半徑r₁=R  ③
由以上得  U=

q1R2B2

2m1

  ④
（2）m₂粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期為T  qv2B=m2

v22

r2

  ⑤
周期為 T=

2πr2

v2

  ⑥
得   T=

2πm2

q2B

  ⑦
m₂粒子能回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向進(jìn)入某條縫，在電場(chǎng)中先減速再反向加速重回磁場(chǎng)，然后以同樣的方式經(jīng)過某些縫最后經(jīng)1號(hào)縫回到S點(diǎn)．共有三種可能情況
第一種：粒子依次經(jīng)過2、3、4、5、6、7、8號(hào)縫回到1號(hào)縫．
       
t=8×

135

360

×T=3T=

6πm2

q2B

  ⑧
第二種：粒子依次經(jīng)3、5、7號(hào)縫回到1號(hào)縫  t=4×

1

4

T=T=

2πm2

q2B

  ⑨
 
第三種：粒子依次經(jīng)過4、7、2、5、8、3、6號(hào)縫回到1號(hào)縫  t=8×

1

8

T=T=

2πm2

q2B

  ⑩

答：（1）兩電極間加的電壓U是

q1R2B2

2m1

．
（2）另一個(gè)粒子質(zhì)量為m₂，帶電量為+q₂，也從S點(diǎn)由靜止出發(fā)，該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后恰好又回到S點(diǎn)，該粒子在磁場(chǎng)中第一次回到S點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為：

6πm2

q2B

或

2πm2

q2B

．

點(diǎn)評(píng)：本題看似較為復(fù)雜，實(shí)則簡(jiǎn)單； 帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)解決的關(guān)鍵在于要先明確粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，只要能確定圓心和半徑即可由牛頓第二定律及向心力公式求得結(jié)果．