Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系 xoy 的第一象限內(nèi)存在沿 y 軸負(fù)方向、場強(qiáng)為 E 的勻強(qiáng)電場，在第四象限內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場，在磁場與電場分界線的 x 軸上有一無限大的薄隔離層．一質(zhì)量為 m、電量為+q、初速度為零的帶電粒子，從坐標(biāo)為（ x ₀，y ₀）的 P 點(diǎn)開始被電場加速，經(jīng)隔離層垂直進(jìn)入磁場，粒子每次穿越隔離層的時(shí)間極短，且運(yùn)動(dòng)方向不變，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不計(jì)帶電粒子所受重力．求：
（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R ₁；
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進(jìn)入電場達(dá)到最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)  y₁；
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時(shí)間  t；
（4）若帶電粒子第四次穿越隔離層時(shí)剛好到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn) O，則 P 點(diǎn)橫坐標(biāo) x₀與縱坐標(biāo) y₀應(yīng)滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第一次到達(dá)隔離層時(shí)的速度，從而得出第一次穿越隔離層的速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子第一次穿越隔離層進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍．得知第二次穿越隔離層的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電粒子第二次穿越隔離層進(jìn)入電場達(dá)到最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（3）從開始到第三次穿越隔離層過程中，在磁場中運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，根據(jù)周期公式求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，在電場中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移時(shí)間公式求出在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．
（4）分別求出第一次穿越隔離層和第三次穿過隔離層后在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，抓住x₀=2R₁+2R₂求出 P 點(diǎn)橫坐標(biāo) x₀與縱坐標(biāo) y₀應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）第一次到達(dá)隔離層時(shí)速度為v₀
qEy_o=

1

2

mv_o²，v₀=

2qEy0 m

第一次穿越隔離層后速度為v₁=k

2qEy0 m

由qv₁B=m

v12

R1

，得第一次在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為 R₁=

mv1

qB

=

2k2mEy0 qB2

（2）第二次穿越隔離層后速度為v₂=k²

2qEy0 m

-qEy₁=0-

1

2

mv₂²，得y₁=k⁴y₀
（3）由y_o=

1

2

qE

m

t₀²，得第一次到達(dá)隔離層的時(shí)間為 t₀=

2my0 qE

圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

第一次在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=

T

2

=

πm

qB

第二次穿越隔離層后到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為 t₂=

v2

a

=k ²

2my0 qE

從開始到第三次穿越隔離層所用總時(shí)間
t=t₀+t₁+2t₂=（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

（4）第三次穿越隔離層后的速度為v ₃=k ³

2qEy0 m

第二次在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R₂=

2k6mEy0 qB2

x₀=2R₁+2R₂=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

答：（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

2k2mEy0 qB2

．
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進(jìn)入電場達(dá)到最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁=k⁴y₀
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時(shí)間為（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

．
（4）P 點(diǎn)橫坐標(biāo) x₀與縱坐標(biāo) y₀應(yīng)滿足的關(guān)系為：x₀=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵知道粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．