Question

如圖，與水平面成45°角的平面MN將空間分成I和II兩個(gè)區(qū)域．一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子以速度v₀從平面MN上的P₀點(diǎn)水平向右射入I區(qū)．粒子在I區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到大小不變、方向豎直向下的電場(chǎng)作用，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在II區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到勻強(qiáng)磁場(chǎng)的作用，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．（粒子的重力可以忽略）求：
（1）粒子首次下從I區(qū)進(jìn)入II區(qū)時(shí)的速度大小和方向．
（2）粒子首次從II區(qū)離開(kāi)時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P₀的距離．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)可求得粒子首次從I區(qū)進(jìn)入II區(qū)時(shí)的速度大小和方向；
（2）粒子在電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得離開(kāi)點(diǎn)到出發(fā)點(diǎn)之間的距離．

解答：解：（1）在電場(chǎng)中類平拋，到達(dá)MN時(shí)的位移沿MN方向，
tan45°=

1 2 at2

v0t

t=

2mv0

Eq

v_y=at=2v₀
由平拋運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系可算出P₀P₁間距離為：s1=

2 2 m v 2 0

qE

，
到P₁時(shí)的瞬時(shí)速度v=

v 2 0 + v 2 y

=

5

v0，
v與豎直方向夾角α滿足tanα=

1

2

，設(shè)v與MN的夾角為β，由α+β=45°，可得tanβ=

1

3

；
（2）由牛頓第二定律可知：
Bqv=m

v2

r

粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r=

m? 5 v0

qB

，
而P₁ P₂間距離：s2=2rsinβ=

2 mv0

qB

l=s₁+s₂
l=

2 mv0

q

(

2v0

E

+

1

B

)
答：（1）粒子首次下從I區(qū)進(jìn)入II區(qū)時(shí)的速度大小為

5

v₀；速度方向與MN夾角的正切值為

1

3

；
（2）粒子首次從II區(qū)離開(kāi)時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P₀的距離為

2 mv0

q

(

2v0

E

+

1

B

)．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)可以直接利用速度夾角與位移夾角的正切值的關(guān)系直接求出速度與水平方向夾角．