Question

7．將一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球用一長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴接，細(xì)繩的另一端固定在天花板上的O點(diǎn)，在O點(diǎn)右下方的A位置釘一光滑的釘子，已知AO兩點(diǎn)的高度差為$\frac{l}{2}$．現(xiàn)將小球從圖示位置無(wú)初速度釋放，此位置與O點(diǎn)等高且此時(shí)細(xì)繩剛好繃緊，當(dāng)細(xì)繩與A點(diǎn)的釘子相碰后，小球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)．不計(jì)細(xì)繩與釘子碰撞時(shí)的機(jī)械能損失．
（1）如果A點(diǎn)到過(guò)O點(diǎn)豎直線的距離為$\frac{\sqrt{5}}{4}$l時(shí)，小球剛好運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩斷裂，則細(xì)繩能承受的最大拉力與重力的比值是多少？
（2）為保證細(xì)繩在不斷裂的情況下，小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何知識(shí)求出小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由機(jī)械能守恒定律求出小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式求解細(xì)繩能承受的最大拉力與重力的比值．
（2）小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓周的最高點(diǎn)由重力提供向心力，由此列式，結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離最大值．當(dāng)細(xì)繩剛要斷裂時(shí)，在最低點(diǎn)拉力達(dá)到最大值，由牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離最小值，從而得到A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離范圍．

解答 解：（1）設(shè)小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r．根據(jù)幾何知識(shí)得：
r=l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{4}l）^{2}}$=$\frac{1}{4}$l
小球從開(kāi)始到運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（r+$\frac{l}{2}$）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
T_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：細(xì)繩能承受的最大拉力與重力之比 $\frac{{T}_{m}}{mg}$=7
（2）設(shè)小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離為s₁．在圓周的最高點(diǎn)由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}}$
從開(kāi)始到圓周的最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$-[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得：s₁=$\frac{\sqrt{7}}{6}$l
設(shè)小球在最低點(diǎn)細(xì)繩剛要斷裂時(shí)，A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離為s₂．在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
T_m-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}}$
從開(kāi)始到圓周的最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$+[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：s₂=$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
所以A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離范圍是：$\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
答：（1）細(xì)繩能承受的最大拉力與重力的比值是7．
（2）A點(diǎn)到O點(diǎn)豎直線的距離范圍是 $\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是分析受力情況，尋找向心力的來(lái)源，找出隱含的臨界條件．