Question

6．未來我國將在海南航天發(fā)射場試驗登月工程，我國宇航員將登上月球．已知萬有引力常量為G，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，月球可視為質量分布均勻的球體（球體體積計算公式V=$\frac{4}{3}$πR³）．求：
（1）月球的半徑R及質量M；
（2）探月衛(wèi)星在靠近月球表面做勻速圓周運動的環(huán)繞速度v．

Answer 1

分析 月球表面的重力與萬有引力相等，繞月球圓周運動的向心力由萬有引力提供，據(jù)此列式計算．

解答 解：（1）設月球半徑為R，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg  …①
月球的質量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$  …②
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$；M=$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$ …③
（2）萬有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  …④
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$   …⑤
由④⑤得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$ …⑥
答：（1）月球的半徑為$\frac{3g}{4πρG}$，質量為$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$；
（2）嫦娥四號探月衛(wèi)星在近月球表面做勻速圓周運動的環(huán)繞速度為$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$．

點評 月球表面的重力與萬有引力相等，衛(wèi)星繞月球做圓周運動萬有引力提供圓周運動的向心力，這個是萬有引力問題經(jīng)常用的表達式．