Question

【題目】(2016全國(guó)卷Ⅱ，25) 輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l。現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開(kāi)P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。

(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開(kāi)圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 2l (2) m≤M<m

【解析】(1)依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長(zhǎng)度被壓縮至l時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能。由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長(zhǎng)度為l時(shí)的彈性勢(shì)能為

Ep＝5mgl①

設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，由能量守恒定律得

Ep＝mv＋μmg(5l－l)②

聯(lián)立①②式，并代入題給數(shù)據(jù)得

vB＝③

若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)滿足

－mg≥0④

設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，由機(jī)械能守恒定律得

mv＝mv＋mg·2l⑤

聯(lián)立③⑤式得vD＝⑥

vD滿足④式要求，故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并從D點(diǎn)以速度vD水平射出。設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

2l＝gt2⑦

P落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為s＝vDt⑧

聯(lián)立⑥⑦⑧式得

s＝2l⑨

(2)設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零。由①②式可知

5mgl>μMg·4l⑩

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)C。由機(jī)械能守恒定律有

MvB′2≤Mgl

Ep＝MvB′2＋μMg·4l

聯(lián)立①⑩式得

m≤M<m