Question

如圖13所示，有一傾角為θ的斜面，其底端固定一擋板M，另有三個(gè)木塊A、B和C，它們的質(zhì)量分別為m_A=m_B=m，m_C=3m，它們與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同.其中木塊A放于斜面上并通過一輕彈簧與擋板M相連.開始時(shí)，木塊A靜止在P處，彈簧處于自然伸長狀態(tài).木塊B在Q點(diǎn)以初速度v₀向下運(yùn)動(dòng)，P、Q間的距離為L.已知木塊B在下滑過程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與木塊A相撞后立刻一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連.它們到達(dá)一個(gè)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，木塊B向上運(yùn)動(dòng)恰好能回到Q點(diǎn).若木塊A仍靜放于P點(diǎn)，木塊C從Q點(diǎn)處開始以初速度v₀向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷同樣過程，最后木塊C停在斜面的R點(diǎn)，求A、R間的距離L′的大小.

圖13

Answer 1

木塊B下滑做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有mgsinθ=μmgcosθ

即gsinθ=μgcosθ①

B和A相撞前后，總動(dòng)量守恒，mv₀=2mv₁

∴v₁=v₀/2    ②

設(shè)兩木塊向下壓縮彈簧的最大長度為s，兩木塊被彈簧彈回到P點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，則

μ2mgcosθ·2s=mv₁²-·    ③

兩木塊在P點(diǎn)處分開后，木塊B上滑到Q點(diǎn)的過程：

(mgsinθ+μmcosθ)L=    ④

木塊C與A碰撞前后總動(dòng)量守恒，

3m·v₀=4m·v′₁

∴v′₁=v₀    ⑤

設(shè)木塊C和A壓縮彈簧的最大長度為s′，兩木塊被彈簧回到P點(diǎn)時(shí)的速度為v′₂，則

μ4mgcosθ·2s′=·-·    ⑥

木塊C與A在P點(diǎn)處分開后，木塊C上滑到R點(diǎn)的過程：

(3mgsinθ+μ3mgcosθ)L′=·      ⑦

由式①可知在木塊壓縮彈簧的過程中，重力對木塊所做的功與摩擦力對木塊所做的功大小相等，因此彈簧被壓縮而具有的最大彈性勢能等于開始?jí)嚎s時(shí)兩木塊的總動(dòng)能.

∵木塊B和A壓彈簧的初動(dòng)能E_k1=·mv₁²=

木塊C和A壓縮彈簧的初動(dòng)能E_k2=·4mv′₁²=

即E_k1=E_k2，因此彈簧前后兩次的最大壓縮量相等，即s=s′    ⑧

聯(lián)立式①至式⑧，解得L′=L-.