Question

如圖所示，水平絕緣地面上有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直擋板AC，板高h(yuǎn)=9cm，與A端等高處有一水平放置的籃筐，圓形筐口的圓心M離擋板的距離L=3m，AC左端及A端與筐口的連線上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T；現(xiàn)有一質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），以某一速度從C端水平射入場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若球可直接從M點(diǎn)落入筐中，也可與AC相碰后從M點(diǎn)落入筐中，且假設(shè)球與AC相碰后以原速率沿碰前速度的反方向彈回彈回，碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電荷量不變，忽略小球運(yùn)動(dòng)對(duì)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的影響．（g=10m/s²，sin53°=0.8），求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率；
（3）若小球與AC碰撞1次后從M點(diǎn)落入筐中，求小球在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存的區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（結(jié)果中可保留π）．

Answer 1

（1）因小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓運(yùn)動(dòng)，故有 qE=mg
代入數(shù)據(jù)解得：E=

mg

q

=

1×10-3×10

1×10-3

N/C=10N/C
場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下．
（2）由洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m

v2

R

，得：R=

mv

qB

由上可知，R最大時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的速率最大，如圖所示，利用幾何知識(shí)有：
（h-R_m）²+L²=

R

2m

解得：R_m=5m
則最大速率 v_m=

qBRm

m

=

1×10-3×1×5

1×10-3

m/s=5m/s；
（3）因?yàn)榱Ｗ拥乃俣确较蚺c半徑方向垂直，所以圓心必在AC所在的豎直線上，如圖所示．
有 R≥s=3m
小球與AC碰撞1次，有：（3R-h）²+L²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
周期 T=

2πm

qB

=

2π×1×10-3

1×10-3×1

s=2π s
①當(dāng)R₁=3m時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角 θ=2π+

π

4

=

9π

4

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=

θ

2π

T=

9π

4

s
②當(dāng)R₂=3.75m時(shí)，sinα=

L

R2

=

3

3.75

=0.8，α=53°
小球運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角 θ=180°+360°-53°=487°
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₂=

487°

360°

T=

487π

180

s≈2.7πs
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為10N/C，場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下．
（2）小球運(yùn)動(dòng)的最大速率為5m/s．
（3）小球在電場(chǎng)和磁場(chǎng)共存的區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

9π

4

s或2.7πs．