Question

如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為d=1.0m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為α=30°，導(dǎo)軌上端跨接一定值電阻R=1.6Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．整個(gè)裝置處于方向垂直導(dǎo)軌平面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T的勻強(qiáng)磁場中．金屬棒ef垂直于MN、PQ靜止放置，且與導(dǎo)軌保持良好接觸，其長剛好也為d、質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.4Ω，距導(dǎo)軌底端S₁=3.75m．另一根與金屬棒平行放置的絕緣棒gh長度也為d，質(zhì)量為

m

2

，從軌道最低點(diǎn)以速度v₀=10m/s沿軌道上滑并與金屬棒發(fā)生正碰（碰撞時(shí)間極短），碰后金屬棒沿導(dǎo)軌上滑S₂=0.2m后再次靜止，測得此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q=0.2J．已知兩棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=

3

3

，g取10m/s²，求：
（1）碰后瞬間兩棒的速度；
（2）碰后瞬間的金屬棒加速度；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）由題意，絕緣棒與金屬棒碰撞后沿導(dǎo)軌上滑S₂=0.2m后再次靜止，根據(jù)動(dòng)能定理列式，得到金屬棒碰后的速度與克服安培力做功的關(guān)系．已知此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q=0.2J．回路中總電熱

R+r

R

Q，根據(jù)功能關(guān)系求得安培力做的功，聯(lián)立即可求得金屬棒碰后的速度．根據(jù)動(dòng)能定理求出絕緣棒與金屬棒碰前的速度，即可根據(jù)動(dòng)量守恒求解碰后瞬間絕緣棒的速度．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式，求出碰后碰后瞬間的金屬棒所受的安培力，再根據(jù)牛頓第二定律求得加速度．
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程，根據(jù)動(dòng)量定理、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律和電量公式，聯(lián)立即可求得時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)金屬棒碰后的速度為v，對金屬棒碰后的過程運(yùn)用動(dòng)能定理：
   0-

1

2

mv2=-W_安-mgS₂sinα-μmgS₂cosα…①
由功能關(guān)系，安培力做的功W_安等于回路中產(chǎn)生的總電熱：
即：W_安=

R+r

R

Q…②
設(shè)絕緣棒與金屬棒碰前的速度為v₁，對絕緣棒在導(dǎo)軌上滑動(dòng)過程運(yùn)用動(dòng)能定理：
-μ

m

2

gS₁cosα-

m

2

gS1sinα=

1

2

m

2

v

2 1

-

1

2

m

2

v

2 0

…③
設(shè)絕緣棒碰后的速度為v₂，兩棒碰時(shí)滿足動(dòng)量守恒，選沿導(dǎo)軌向上的方向?yàn)檎�方向，有�?br /> 

m

2

v₁=

m

2

v₂+mv…④
由①②得：v=3m/s…⑤
由③④⑤得：v₂=-1m/s  負(fù)號表示方向沿導(dǎo)軌向下…⑥
（2）碰后瞬間的金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E，則有：
E=Bdv…⑦
回路中的感應(yīng)電流：I=

E

R+r

…⑧
安培力的大�。篎_安=BId…⑨
設(shè)金屬棒的加速度為a，對金屬棒運(yùn)用牛頓第二定律：
 μmgcosα+mgsinα+F_安=ma…⑩
由⑦⑧⑨⑩得：a=25m/s²，方向沿導(dǎo)軌平面向下…（11）
（3）設(shè)金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在此運(yùn)動(dòng)過程中，安培力的沖量為I_安，沿導(dǎo)軌方向運(yùn)用動(dòng)量定理：
-I_安-μmgtcosα-mgtsinα=0-mv…（12）
其中：I_安=B

.

I

d?△t…（13）
由閉合電路歐姆定律：

.

I

=

. E

R+r

…（14）
由法拉第電磁感應(yīng)定律

.

E

=

△Φ

△t

=

BdS2

△t

…（15）
聯(lián)立⑩（11）（12）（13）得：t=0.2s…（16）
答：（1）碰后瞬間金屬棒速度為3m/s，絕緣棒速度為-1m/s，負(fù)號表示方向沿導(dǎo)軌向下．
 （2）碰后瞬間的金屬棒加速度為25m/s²；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.2s．

點(diǎn)評：本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，綜合運(yùn)用電磁學(xué)知識、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解．