Question

據(jù)報(bào)道，北京首條磁懸浮列車運(yùn)營線路已經(jīng)完成前期準(zhǔn)備工作，正待命開工。磁懸浮列車它的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可簡化為如圖12模型：固定在列車下端的動(dòng)力繞組可視為一個(gè)矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長邊MN長為l，平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖甲所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ，最大值為B₀，即B=B₀sin（2π），如圖乙所示。金屬框同一長邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，整個(gè)磁場(chǎng)以速度v₀沿Ox方向勻速平移。列車在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用下沿Ox方向勻速行駛，速度為v(v<v₀)。列車所受總阻力雖然很小但不能忽略。設(shè)在短暫時(shí)間內(nèi)，MN、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化可以忽略。

（1）可以證明，當(dāng)線框?qū)挾?i>d=λ/2時(shí)，列車可以獲得最大驅(qū)動(dòng)力，求驅(qū)動(dòng)力的最大值；

（2）由于列車與磁場(chǎng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力大小在隨時(shí)間變化。寫出驅(qū)動(dòng)力大小隨時(shí)間的變化關(guān)系式；

（3）為了列車平穩(wěn)運(yùn)行，設(shè)計(jì)方案是在此線框前方合適位置再加一組與線框MNPQ同樣的線框M'N'P'Q'，兩線框間距離滿足一定條件時(shí)，列車可以獲得恒定的驅(qū)動(dòng)力。求恒定驅(qū)動(dòng)力大小及在兩線框不重疊的情況下兩組線框的MN與M'N'邊的最小距離。

Answer 1

參考答案：

（1）為使列車獲得最大驅(qū)動(dòng)力，MN、PQ應(yīng)位于磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度同為最大值且反向的位置，這會(huì)使得金屬框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，電流最強(qiáng)，也會(huì)使得金屬框長邊受到的安培力最大。此時(shí)線框中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E_m=2B₀l（v₀-v）

相應(yīng)的，根據(jù)閉合電路歐姆定律I_m=                               

設(shè)此時(shí)現(xiàn)況MN邊受到的安培力為F_m，根據(jù)安培力公式F=BIl                                             

最大驅(qū)動(dòng)力F_m =2B₀I_ml

F_m=

（2）從MN邊在x=0處開始計(jì)時(shí)，MN邊到達(dá)x坐標(biāo)處，磁場(chǎng)向右移動(dòng)了v₀t

設(shè)此時(shí)線框中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e，則

e= 2B₀ l（v₀-v）sin（2π）

相應(yīng)的，感應(yīng)電流為i=（v₀-v）sin（2π）   

驅(qū)動(dòng)力：F= （v₀-v）sin²（2π）

 （3）為了使驅(qū)動(dòng)力不隨時(shí)間變化，即需要消除牽引力表達(dá)式中隨時(shí)間變化部分，此時(shí)只需線框M'N'P'Q'所受力滿足F'=（v₀-v）cos²（2π）

從而使得F_總=（v₀-v）sin²（2π）+（v₀-v）cos²（2π）

F_總=（v₀-v）不隨時(shí)間變化                                             

即MN邊受力最大時(shí)，M'N'受力最小，而MN邊受力最小時(shí)，M'N'受力最大，即M'N'邊與MN邊最少相距3λ/4