Question

（2013?太原一模）如圖，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面）．在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以某一初速度v₀（未知）從a點沿直徑aOb方向射入柱形區(qū)域（磁場），從圓上的C點離開該區(qū)域，已知Oc與Ob成60°角，回答下列問題：
（1）求粒子初速度V₀的大�。�
（2）若將該粒子的初速度減為

1

3

v0，仍從a點沿原來的方向射入磁場，則粒子從圓上的d點離開該區(qū)域，求cd間的距離；
（3）若將磁場換為平行于紙面且垂直ab的勻強電場，讓該粒子以V₀仍從a點沿ab方向射入勻強電場，粒子也從c點離開該區(qū)域，求電場強度的大�。�

Answer 1

分析：（1）依據(jù)運動的對稱性，做出粒子在磁場中的運動軌跡圖象，由幾何關(guān)系可以得到軌道半徑，進而由洛倫茲力提供向心力可得粒子初速度v₀的大小；
（2）若將該粒子的初速度減為

1

3

v0，仍從a點沿原來的方向射入磁場，則由（1）得到的速度半徑關(guān)系可得此時的軌道半徑，由幾何知識可得cd距離；
（3）在勻強電場中粒子做類平拋運動，由平拋規(guī)律可得電場強度大小．

解答：解：（1）粒子運動軌跡如圖：
粒子以某一初速度v₀（未知）從a點沿直徑aOb方向射入柱形區(qū)域（磁場），從圓上的C點離開該區(qū)域，設(shè)半徑為r₁，則：
Bqv0=m

v02

r1

①
因為∠bOc=60°，故∠aO′O=30°，
tan30°=

R

r1

，
解得：
r1=

3

R．
帶入①解得：
v0=

3 BqR

m

．
（2）若將該粒子的初速度減為

1

3

v0，仍從a點沿原來的方向射入磁場，則粒子從圓上的d點離開該區(qū)域，所做圓周運動的半徑為r，則：
r=

1

3

r1=

3

3

R，
tan∠aOO″=

r

R

，
∠aOd=60°，
解得：
L_cd=R．
（3）設(shè)電場強度為E，粒子在電場中做類平拋運動，其加速度大小為a，則：
qE=ma，
粒子沿ab通過的距離為x，沿電場方向通過的距離為y，則：
x=R+Rcos60°，
y=Rsin60°，
由運動學(xué)公式：
x=v₀t，
y=

1

2

at2，
解得：
E=

4 3 qRB2

3m

．
答：（1）求粒子初速度v₀的大小為v0=

3 BqR

m

；
（2）若將該粒子的初速度減為

1

3

v0，仍從a點沿原來的方向射入磁場，則粒子從圓上的d點離開該區(qū)域，cd間的距離為R；
（3）若將磁場換為平行于紙面且垂直ab的勻強電場，讓該粒子以V₀仍從a點沿ab方向射入勻強電場，粒子也從c點離開該區(qū)域，電場強度的大小為E=

4 3 qRB2

3m

．

點評：本題的關(guān)鍵問題是做出粒子的運動軌跡，再加上熟練應(yīng)用幾何關(guān)系才能解決這個題，帶點粒子在磁場中的運動，一定要掌握好幾何工具．