Question

如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E．在其他象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里．A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O的距離為l．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而同過C點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域，并再次通過A點(diǎn)，此時速度與y軸正方向成銳角．不計重力作用．試求：
（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時速度的大小和方向（用tanθ表示即可）；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場作用下做類平拋運(yùn)動，加速度沿y軸負(fù)方向，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式可求出初速度，再根據(jù)圓周運(yùn)動的對稱性求出C點(diǎn)進(jìn)入磁場時的速度為v，方向可通過幾何關(guān)系求解．
（2）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中做速率為v的圓周運(yùn)動．通過幾何關(guān)系表示出軌道半徑R，進(jìn)而求出B．

解答：解：（1）以a表示粒子在電場作用下的加速度，有qE=ma     ①
加速度沿y軸負(fù)方向．設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場時的初速度為v₀，由A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)經(jīng)歷的時間為t，
則有 h=

1

2

at2   ②
l=v₀t        ③
由①②得：v0=l

a 2h

④
 設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場時的速度為v，v垂直于x軸的分量v1=

2ah

⑤
由①④⑤式得  v=

v02+v12

=

qE(4h2+l2) 2mh

⑥
設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時的速度方向與x軸夾角為α，則有tanα=

v1

v0

⑦
  由④⑤⑦式得α=arctan

2h

l

⑧
（2）粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中做速率為v的圓周運(yùn)動．若圓周的半徑為R，則有qvB=m

v2

R

⑨
設(shè)圓心為P，則PC必與過C點(diǎn)的速度垂直，且有

.

PC

=

.

PA

=R．用β表示PA與y軸的夾角，

由幾何關(guān)系得Rcosβ=Rcosα+h⑩
Rsinβ=l-RsinαⅠ
由⑧⑩Ⅰ式得：R=

h2+l2

2hl

4h2+l2

Ⅱ
 由⑥⑨Ⅱ式得； B=

l

h2+l2

2mhE q

答：（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時速度的大小為

qE(4h2+l2) 2mh

，方向?yàn)閍rctan

2h

l

；（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B為

l

h2+l2

2mhE q

．

點(diǎn)評：本題主要考查了帶電粒子在混合場中運(yùn)動的問題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運(yùn)動情況，熟練掌握平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的基本公式，并幾何幾何關(guān)系解題，難度較大．