Question

（2006?濱州二模）圖示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機(jī)”．工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)緊壓夯桿的滾輪勻速轉(zhuǎn)運(yùn)將夯桿從深為h的坑中提上來(lái)，當(dāng)兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實(shí)坑底．然后，兩個(gè)滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來(lái)，如此周而復(fù)始工作．已知兩個(gè)滾輪邊緣線速度v恒為4m/s，每個(gè)滾輪對(duì)夯桿的正壓力F_N為2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.3，夯桿質(zhì)量m為1×10³kg，坑深h為6.4m．假定在打夯的過(guò)程中坑的深度變化不大，且夯桿底端升到坑口時(shí)，速度正好為零．取g=10m/s²．求：
（1）夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為多大，此時(shí)夯桿底端離夯底多高；
（2）每個(gè)打夯周期中，電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所作的功；
（3）打夯周期．

Answer 1

分析：（1）求出夯桿受到的摩擦力，從而求出夯桿向上勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a，通過(guò)計(jì)算判斷夯桿上升運(yùn)動(dòng)的過(guò)程從而確定夯桿被釋放時(shí)速度和離夯底的高度；
（2）重力和電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求出電動(dòng)機(jī)做的功；
（3）根據(jù)（1）問(wèn)的分析，分勻加速上升、勻速上升和勻減速上升以及自由下落四段求一個(gè)打夯周期的時(shí)間．

解答：解：（1）夯桿在上升過(guò)程中，對(duì)夯桿進(jìn)行受力分析知，夯桿所受摩擦力為：f1=2μN(yùn)=1.2×104N；
夯桿產(chǎn)生加速度為：a1=

f1-mg

m

=2m/s2
當(dāng)夯桿與滾輪相對(duì)靜止時(shí)：v=a1t1=4m/s，t1=2s，h1=

1

2

a1

t

2 1

=4m
當(dāng)夯桿以v=4m/s的初速度豎直上拋，上升高度為：h2=

v2

2g

=0.8m
則當(dāng)夯桿加速向上運(yùn)動(dòng)速度到達(dá)v=4m/s后，夯桿勻速上升，勻速上升高度為：h₃=h-h₁-h₂=1.6m
因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，再豎直上拋．    
故夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為4m/s；
此時(shí)夯桿底端離夯底△h=h-h₂=5.6m．      
（2）夯桿在上升過(guò)程中只有電動(dòng)機(jī)和重力對(duì)夯桿做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W+W_G=0
∴W=-W_G=-mg（-h）=mgh=6.4×10⁴J
夯桿下落過(guò)程中只有重力做功電動(dòng)機(jī)不做功，故一個(gè)打夯周期中電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿做功為6.4×10⁴J
（3）夯桿上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2=

v

g

=0.4s；  
夯桿勻速上升的時(shí)間為：t3=

h3

v

=0.4s；      
夯桿自由落體的時(shí)間為：h=

1

2

g

t

2 4

，t4=

2h g

=1.13s
故打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.93s
答：（1）夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為4m/s，此時(shí)夯桿底端離夯底5.6m；
（2）每個(gè)打夯周期中，電動(dòng)機(jī)對(duì)夯桿所作的功6.4×10⁴J；
（3）打夯周期為3.93s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析求出夯桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．