Question

（2007?寧夏）在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強磁場，磁場的方向垂直于紙面，磁感應強度為B．一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點（AP=d）射入磁場（不計重力影響）．
（1）如果粒子恰好從A點射出磁場，求入射粒子的速度．
（2）如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點切線方向的夾角為φ（如圖）．求入射粒子的速度．

Answer 1

分析：（1）由于粒子在P點垂直射入磁場，故圓弧軌道的圓心在AP上，AP是直徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式即可求解速度；
（2）設O′是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心，連接O′Q，設O′Q=R′，根據(jù)幾何關系即余弦定理即可求得R′，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式即可求解速度；

解答：解：（1）由于粒子在P點垂直射入磁場，故圓弧軌道的圓心在AP上，AP是直徑．
設入射粒子的速度為v₁，由洛倫茲力的表達式和牛頓第二定律得：m

v 2 1

d 2

=qBv1
解得：v1=

qBd

2m

（2）設O′是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心，連接O′Q，設O′Q=R′．
由幾何關系得：∠OQO′=φ            OO′=R′+R-d
由余弦定理得：(OO/)2=R2+R/2-2RR/cosφ
解得：R/=

d(2R-d)

2[R(1+cosφ)-d]

設入射粒子的速度為v，由m

v2

R/

=qvB
解出：v=

qBd(2R-d)

2m[R(1+cosφ)-d]

答：（1）如果粒子恰好從A點射出磁場，入射粒子的速度為

qBd

2m

．
（2）如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點切線方向的夾角為φ（如圖）．入射粒子的速度為

qBd(2R-d)

2m[R(1+cosφ)-d]

．

點評：熟悉電子在磁場中做勻速圓周運動由洛倫茲力提供向心力，據(jù)此列式求出半徑的表達式，能正確作出粒子做圓周運動的半徑．