Question

（2007?湖南模擬）如圖所示，在空間中固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性等邊三邊形框架△DEF，DE邊上S點(diǎn)（

.

DS

=

L

4

）處有一發(fā)射帶正電的粒子源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下．發(fā)射的電量皆為q，質(zhì)量皆為m，但速度v有各種不同的值．整個(gè)空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直截面向里的均勻磁場(chǎng)．設(shè)粒子與△DEF邊框碰撞時(shí)沒(méi)有能量損失和電量傳遞．求：
（1）帶電粒子速度的大小為v時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
（2）帶電粒子速度v的大小取那些數(shù)值時(shí)，可使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又垂直于DE邊回到S點(diǎn)？
（3）這些粒子中，回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合等邊三角形邊長(zhǎng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡同場(chǎng)區(qū)內(nèi)切時(shí)，場(chǎng)區(qū)半徑有最小值，根據(jù)幾何關(guān)系求出勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面圓周半徑的最小值．
（3）求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)幾何關(guān)系知，從S點(diǎn)發(fā)射出的某帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)射到第一次返回S點(diǎn)經(jīng)歷了4個(gè)周期，從而得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子從S點(diǎn)垂直于DE以速度v射出后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于DE邊上，其半徑R可由下式
qvB=

mv2

R

求得半徑為R=

mv

qB

      …（1）
（2）若此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到S點(diǎn)，則R和v應(yīng)滿足以下條件：

.

DS

=

L

4

=(2n-1)R  n=1，2，3，…（2）
由①②得    v=

qBL

4(2n-1)m

         n=1，2，3，…（3）
（3）這些粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
T=

2πR

v

  將（1）式代入，得T=

2πm

qB

    …（4）
可見在B及

q

m

給定時(shí)T與v無(wú)關(guān)．粒子從S點(diǎn)出發(fā)最后回到S點(diǎn)的過(guò)程中，與三角形的邊碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時(shí)間就愈少，所以應(yīng)取n=1，由圖可看出該粒子的軌跡包括3個(gè)半圓和3個(gè)圓心角為300°的圓弧，所需時(shí)間為
t=3?

T

2

+3?

5T

6

=4T=

8πm

qB

…（5）
答：（1）帶電粒子速度的大小為v時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

mv

qB

；
（2）帶電粒子速度v=

qBL

4(2n-1)m

，n=1，2，3，…時(shí)，可使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又垂直于DE邊回到S點(diǎn)；
（3）這些粒子中，回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間是

8πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在有圓形邊界的磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．