Question

1．如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小滑塊可在軌道ABCD間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，中間圓弧部分BC與兩側(cè)斜面對(duì)稱相切．兩側(cè)斜面的傾角都等于45°，斜面頂點(diǎn)A、D到水平直線BC的豎直距離都為h，圓弧BC的半徑也等于h．小滑塊與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，小滑塊與圓弧BC之間沒有摩擦．現(xiàn)讓小滑塊從A點(diǎn)由靜止滑下，經(jīng)圓弧BC沖上斜面CD，在CD上滑到E點(diǎn)速度為零，E點(diǎn)距離直線BC的高度為0.4h．小滑塊再?gòu)腅點(diǎn)返回，在斜面AB上滑到F點(diǎn)速度為零，然后再?gòu)腇點(diǎn)滑下，F(xiàn)點(diǎn)相對(duì)于直線BC的高度為$\frac{1}{5}$h，重力加速度為g．求：
（1）圓弧軌道最低點(diǎn)受到的最大壓力；
（2）小滑塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）小滑塊從開始到最終在BC之間運(yùn)動(dòng)，在兩條直軌道上滑動(dòng)的路程之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小滑塊第1次經(jīng)過圓弧最低點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式列式求解即可；
（2）A到E的過程中重力與摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出；
（3）小滑塊由A運(yùn)動(dòng)到BC之間點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出在AB上下滑的距離和在CD上上滑的距離之間的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）小滑塊由A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中重力和摩擦力對(duì)滑塊做功，由動(dòng)能定理得：$mgh+mgR（1-cos45°）-μmgcos45°•\frac{h}{sin45°}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)支持力與重力的合力提供向心力，則：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$
又：R=h
聯(lián)立解得：F_N=（4-$\sqrt{2}$）mg           
根據(jù)牛頓第三定律可知：滑塊對(duì)軌道的壓力（4-$\sqrt{2}$）mg，方向豎直向下；
（2）A到E的過程中重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
$mgh-μmgcos45°•\frac{h}{sin45°}-mg•0.4h-μ′mgcos45°•\frac{0.4h}{sin45°}=0$
所以：μ′=0.25
（3）設(shè)小滑塊在斜面AB上依次下滑的距離分別為L(zhǎng)₁、L₂、L₃…，在斜面CD上依次上滑的距離分別為x₁、x₂、x₃…，
小滑塊由P運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，則有：
mg（L₁-x₁sin45°-μmgL₁cos45°+μ′mgx₁cos45°）=0
同時(shí)，由題意，${L}_{1}=\frac{h}{sin45°}$=$\sqrt{2}h$，${L}_{2}=\frac{\frac{1}{5}h}{sin45°}$=$\frac{1}{5}•\sqrt{2}h$；…
以及：${x}_{1}=\frac{0.4h}{sin45°}$，
所以L₁、L₂、L₃…構(gòu)成公比為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列，同理x₁、x₂、x₃…構(gòu)成公比為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列；
設(shè)從靜止開始下滑到滑塊只能在BC之間運(yùn)動(dòng)共2n-1次經(jīng)過B點(diǎn)，該過程中在斜面AB上運(yùn)動(dòng)通過的總路程為s_n．
則總路程為：s_n=L₁+2（L₂+L₃+…+L_n）
根據(jù)等差數(shù)列求和，當(dāng)n→∞時(shí)得：s_n=$\sqrt{2}h$+2×$\frac{\frac{1}{5}•\sqrt{2}h[1-（\frac{1}{5}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{5}}$=$1.5\sqrt{2}h$，
滑塊在CD上的總路程：s_n′=2（x₁+x₂+x₃+…+x_n-1）
求和得：${s}_{n}′=0.5\sqrt{2}h$
所以小滑塊從開始到最終在BC之間運(yùn)動(dòng)，在兩條直軌道上滑動(dòng)的路程之和為：$S={s}_{n}+{s}_{n}′=1.5\sqrt{2}h+0.5\sqrt{2}h=2\sqrt{2}h$
答：（1）圓弧軌道最低點(diǎn)受到的最大壓力是（4-$\sqrt{2}$）mg；
（2）小滑塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.25；
（3）小滑塊從開始到最終在BC之間運(yùn)動(dòng)，在兩條直軌道上滑動(dòng)的路程之和是$2\sqrt{2}h$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能根據(jù)數(shù)學(xué)數(shù)列方面的知識(shí)求解物體問題，難度較大．