Question

10．如圖所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊，現(xiàn)用輕細(xì)線的一端連接木板的Q端，保持與斜面平行，繞過定滑輪后，另一端可懸掛鉤碼，鉤碼距離地面足夠高．已知斜面傾角θ=30°，木板長為L，Q端距斜面頂端距離也為L，物塊和木板的質(zhì)量均為m，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若所掛鉤碼質(zhì)量為2m，物塊和木板能一起勻速上滑；若所掛鉤碼質(zhì)量為其他不同值，物塊和木板有可能發(fā)生和對滑動(dòng)，重力加速度為g，不計(jì)細(xì)線與滑輪之間的摩擦，設(shè)接觸面間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（2）物塊和木板發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)，所掛鉤碼質(zhì)量m′應(yīng)滿足什么條件？
（3）選取適當(dāng)質(zhì)量的鉤碼可使木板由靜止開始向上滑動(dòng)，試討論木板Q端到達(dá)斜面頂端所用時(shí)間t與鉤碼質(zhì)量m′之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）對整個(gè)系統(tǒng)根據(jù)平衡條件求出木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）要使二者發(fā)生相對滑動(dòng)，保證木板的加速度a₁大于物塊的加速度${a}_{2}^{\;}$，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊加速度和木板加速度，聯(lián)立即可求解；
（3）分兩種情況討論：$m′＞\frac{10}{3}m$，物塊和木板發(fā)生相對滑動(dòng)，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系得出t與鉤碼質(zhì)量m′之間的關(guān)系；當(dāng)$2m＜m′≤\frac{10}{3}m$，物塊和木板一起加速運(yùn)動(dòng)，對物塊和木板組成的整體根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；

解答 解：（1）整個(gè)系統(tǒng)勻速時(shí)有：
對鉤碼：2mg=T    
對物塊和木板：T=2mgsinθ+μ₂2mgcosθ       
解得μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$        
（2）要使二者發(fā)生相對滑動(dòng)，保證木板的加速度a₁大于物塊的加速度a₂
對物塊：μ₁mgcosθ-mgsinθ=ma₂     
可得  a₂=$\frac{1}{4}$g
對木板：T′-mgsinθ-μ₁mgcosθ-μ₂2mgcosθ=ma₁   
對鉤碼：m′g-T′=m′a₁      
解得：a₁=$\frac{m′-\frac{9}{4}m}{m′+m}$g      
聯(lián)立解得：m′＞$\frac{10}{3}$m       
（3）若m′＞$\frac{10}{3}$m，二者相對滑動(dòng)，
木板的位移：L=$\frac{1}{2}$a₁t²
物塊的位移：s=$\frac{1}{2}$a₂t²
由于L-s＜L，當(dāng)Q端到達(dá)斜面頂端時(shí)，物塊未從木板上滑下  
所以有t²=$\frac{2L}{{a}_{1}}$=$\frac{2L（m′+m）}{（m′-\frac{9}{4}m）g}$      
若2m＜m′≤$\frac{10}{3}$m，物塊和木板一起加速運(yùn)動(dòng)
對鉤碼：m′g-T″=m′a₃        
對二者整體：T″-2mgsinθ-μ₂2mgcosθ=2ma₃     
解得：a₃=$\frac{m′-2m}{m′+2m}$g
 L=$\frac{1}{2}$a₃t²
所以有：t²=$\frac{2L}{{a}_{3}}$=$\frac{2L（m′+2m）}{（m′-2m）g}$      
答：（1）木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)${μ}_{2}^{\;}$為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）物塊和木板發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)，所掛鉤碼質(zhì)量m′應(yīng)滿足條件$m′＞\frac{10}{3}m$
（3）選取適當(dāng)質(zhì)量的鉤碼可使木板由靜止開始向上滑動(dòng)，木板Q端到達(dá)斜面頂端所用時(shí)間t與鉤碼質(zhì)量m′之間的關(guān)系為
當(dāng)$m′＞\frac{10}{3}m$時(shí)，${t}_{\;}^{2}=\frac{2L（m′+m）}{（m′-\frac{3}{4}m）g}$
當(dāng)$2m＜m′≤\frac{10}{3}m$，${t}_{\;}^{2}=\frac{2L（m′+2m）}{（m′-2m）g}$

點(diǎn)評 本題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)难芯繉ο筮\(yùn)用隔離法和整體法分別受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題，難度較大．