Question

【題目】如圖所示，傾角30°的光滑斜面上，輕質彈簧兩端連接著兩個質量均為m=1kg的物塊B和C，C緊靠著擋板P，B通過輕質細繩跨過光滑定滑輪與質量M=8kg的物塊A連接，細繩平行于斜面，A在外力作用下靜止在圓心角為60°、半徑R=2m的的光滑圓弧軌道的頂端a處，此時繩子恰好拉直且無張力；圓弧軌道最低端b與粗糙水平軌道bc相切，bc與一個半徑r=0.2m的光滑圓軌道平滑連接。由靜止釋放A，當A滑至b時，C恰好離開擋板P，此時繩子斷裂。已知A與bc間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度取g=10m/s2，彈簧的形變始終在彈性限度內，細繩不可伸長。

（1）求彈簧的勁度系數(shù)；

（2）求物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大�。�

（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）5N/m（2）144N（3）0≤Lab≤3m或6m≤Lbc≤8m

【解析】

考查牛頓運動定律與動能定理的綜合應用。

（1）A在a處時，繩子拉直無張力，彈簧壓縮，設壓縮量為x1，彈簧彈力為：

A在b處時，彈簧伸長，設伸長量為x2，那么：

又有當A滑至b時，C恰好離開擋板P，所以，彈簧彈力：

所以:

所以:

（2）A從a到b過程由，ABC及彈簧系統(tǒng)只有重力、彈簧彈力做功，且A在a處和b處，彈簧的形變量相同，故彈性勢能不變，彈簧彈力做功為零；那么，ABC及彈簧系統(tǒng)機械能守恒；

設A在b處的速度為vb，那么，B的速度為A的速度在沿繩子方向的分速度，故B的速度

則由動能定理可得：

所以vb=4m/s；

對物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間應用牛頓第二定律，則有：

所以

故由牛頓第三定律可知：物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對圓軌道的壓力大小為144N；

（3）為了讓物塊A能進入圓軌道且不脫軌，那么，物塊A在圓軌道上可能達到的最高點h≤r或者h=2r；

那么，當h=2r時，對物體A在最高點應用牛頓第二定律有：

A在圓軌道上運動，機械能守恒，所以，A在c處的動能：

；

當h≤r時，由機械能守恒可得A在c處的動能：

所以，A在c處的動能為Ekc1≥40J或0≤Ekc2≤16J；

又有A在b處的動能：

A從b到c運動過程，只有摩擦力做功，且摩擦力：

故由動能定理可得：

所以， 或。