Question

15．我國已經(jīng)進(jìn)入全面的天空活動(dòng)中，2016年10月19日，神舟十一號(hào)載人飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室成功實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接，再次引起人們對(duì)月球的關(guān)注．我國發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時(shí)間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g_月，引力常量為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球表面物體重力等于萬有引力求出月球的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力列式，由題意求出周期，聯(lián)列即可求解；

解答 解：（1）表面處引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}$
得：$M=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度，由萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度為：
${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$
（3）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$，
衛(wèi)星周期為：$T=\frac{t}{n}$
軌道半徑r=R+h，解得：$h=\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$為$\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$；
（3）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h為$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個(gè)重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．