Question

4．電磁彈射是采用電磁的能量來推動被彈射物體向外運動的新型技術，是我國最新研究的重大科技成果．其工作原理可簡化為下述模型．如圖所示，一為長為L=1m、電阻為R=2Ω的正方形單匝金屬線框abcd放在絕緣的光滑水平面上，線框所在處存在一個豎直向上的勻強磁場，虛線MN為磁場的左邊界，線框的ab邊處在磁場外側緊靠MN處．t=0時起磁感應強度B隨時間t的變化規(guī)律是B=2+0.4t（T），空氣阻力忽略不計．試求：
（1）t=0時刻，線框中產生磁感應電流的大小和方向；
（2）線框在磁場力的作用下從磁場中穿出的過程中，通過導線截面的電荷量q；
（3）若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，在線框上固定一負載物，證明：載物線框匝數越多，t=0時刻線框加速度越大．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律及閉合電路歐姆定律，即可求解；
（2）由法拉第電磁感應定律求得平均電動勢，及閉合電路歐姆定律，電量表達式，從而即可求解；
（3）根據感應電動勢與感應電流值，依據安培力表達式，及牛頓第二定律，即可證明．

解答 解：（1）t=0時刻線框中的感應電動勢$E=\frac{△B}{△t}{L}_{\;}^{2}=0.4×{1}_{\;}^{2}=0.4V$
感應電流的大小$I=\frac{E}{R}=\frac{0.4}{2}A=0.2A$
根據楞次定律，感應電流為順時針方向
（2）穿出過程線框中的平均電動勢$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
線框中的電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
$△Φ=|0-{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}|={B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}$
通過的電量：$q=\overline{I}△t=\frac{△Φ}{R}$=$\frac{{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{R}=\frac{2×{1}_{\;}^{2}}{2}=1C$
（3）n匝線框中t=0時刻產生的感應電動勢E=n$\frac{△Φ}{△t}$
線框的總電阻R_總=nR                          
線框中的電流$\frac{E}{{R}_{總}^{\;}}$
t=0時刻線框受到的安培力F=nB₀IL
設線框的加速度為a，根據牛頓第二定律有F=（nm+M）a
解得$a=\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$可知，n越大，a越大．    
答：（1）線框中感應電流大小0.2A，方向順時針方向
（2）通過導線截面電荷量1C
（3）根據$a=\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$可知，n越大，a越大．

點評 考查法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律的內容，掌握動能定理與牛頓第二定律的應用，理解電量的綜合表達式的推導，注意安培力大小與匝數有關．