Question

（20分）圖示正方形輕質(zhì)剛性水平桌面由四條完全相同的輕質(zhì)細(xì)桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處，桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上。已知桌腿受力后將產(chǎn)生彈性微小形變�，F(xiàn)于桌面中心點(diǎn)O至角A的連線OA上某點(diǎn)P施加一豎直向下的力F，令，求桌面對(duì)桌腿1的壓力F₁。

   

Answer 1

解析：

設(shè)桌面對(duì)四條腿的作用力皆為壓力，分別為、、、．因輕質(zhì)剛性的桌面處在平衡狀態(tài)，可推得

．                           (1)

由于對(duì)稱性，

．          (2)

考察對(duì)桌面對(duì)角線BD的力矩，由力矩平衡條件可得

．     (3)

根據(jù)題意， ，c=0對(duì)應(yīng)于力F的作用點(diǎn)在O點(diǎn)，c=1對(duì)應(yīng)于F作用點(diǎn)在A點(diǎn)。

設(shè)桌腿的勁度系數(shù)為, 在力F的作用下，腿1的形變?yōu)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090922/20090922163748010.gif' width=35>，腿2和4的形變均為，腿3的形變?yōu)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090922/20090922163748012.gif' width=36>．依題意，桌面上四個(gè)角在同一平面上，因此滿足, 即

．   (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得

，   (5)

，   (6)

當(dāng)時(shí)，.，表示腿3無形變；，表示腿3受到桌面的作用力為拉力，這是不可能的，故應(yīng)視．此時(shí)(2)式(3)式仍成立．由(3)式，可得

．                                                       (7)

綜合以上討論得

,      .                     (8)

 ，        .                     (9)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

    (1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的結(jié)果得4分，得到由(9)式表示的結(jié)果得5分。