Question

如圖所示，A、B兩平行板水平放置，板長(zhǎng)L=0.2m，板間有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=2×10³V/m，兩板間距d=

3

10

m．緊貼著上極板，沿水平方向射入初速度為v₀的帶正電微粒，微粒的比荷

q

m

=1×10⁶C/kg，v₀的大小可以取任意值．緊靠著極板左側(cè)的虛線MN為磁場(chǎng)的邊界線（M點(diǎn)緊靠A板最左端），MN左側(cè)有范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.2T．不計(jì)微粒的重力．求：
（1）帶電微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（2）帶電微粒離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的最小速度；
（3）帶電微粒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)距M點(diǎn)的最小距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)帶電粒子 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式T=

2πm

qB

以及時(shí)間與周期之間的關(guān)系公式

t

T

=

θ

2π

可得，最短時(shí)間對(duì)應(yīng)于最小的圓心角．
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，得出粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度的表達(dá)式，然后結(jié)合函數(shù)關(guān)系即可求得；
（3）帶電微粒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)距M點(diǎn)的最小距離是粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)量與磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)量的和，得出偏轉(zhuǎn)的位移的表達(dá)式，然后結(jié)合函數(shù)關(guān)系即可求得．

解答：解：（1）最短時(shí)間對(duì)應(yīng)于最小的圓心角，粒子在下極板邊沿射出時(shí)，圓心角最�。�
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：L=v₀t
豎直方向：d=

1

2

at2
又v_y=at
設(shè)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，速度與水平方向夾角為θ，
tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=2?

1 2 at2

v0t

=2?

d

L

=2×

3 10

0.2

=

3

所以：θ=60°
此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，

粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角為60°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
tm=

60°

360°

T=

1

6

T
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πm

qB

代入數(shù)據(jù)解得：tm=

T

6

=

π

6

×10-5s
（2）設(shè)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，速度與水平方向夾角為α，如圖：

水平方向：L=v₀t₁
豎直方向：y=

1

2

a

t

2 1

加速度：a=

qE

m

=

q

m

?E=1×106×2×103=2×109m/s2
又v_y1=at₁
所以：tanα=

vy1

v0

=2?

y

L

所以：y=0.1?tanα
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)出公式2as=v2-

v

2 0

得：vy=

2a?y

根據(jù)如圖的幾何關(guān)系得：v=

vy

sinα

=

0.2a?tanα

sinα

=

0.2a sinαcosα

當(dāng)α=45°時(shí)，帶電微粒離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度最小，代入數(shù)據(jù)解得：
v=2

2

×104m/s
（3）帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，設(shè)偏轉(zhuǎn)量為y，y=0.1?tanθ
磁場(chǎng)中的軌道半徑R=

mv

qB

=0.1×

1 sinθcosθ

離M點(diǎn)的距離Y=0.1?tanθ+2Rcosθ=0.1?tanθ+0.2×

1 tanθ

求極值，當(dāng)tanα=1時(shí)，Y有極小值，Y=0.3m
答：（1）帶電微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為

π

6

×10-5s；（2）帶電微粒離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的最小速度為2

2

×104m/s；（3）帶電微粒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)距M點(diǎn)的最小距離為0.3m．

點(diǎn)評(píng)：該題的第一問(wèn)是常規(guī)的題目，做出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，即可得出正確的結(jié)果；第二問(wèn)和第三問(wèn)是題目的難點(diǎn)，要先根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，推導(dǎo)出相應(yīng)的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)中的極限條件才能得出正確的結(jié)論．