Question

13．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，一端系在豎直放置、半徑為R的光滑圓環(huán)頂點(diǎn)P，另一端連接一套在圓環(huán)上且質(zhì)量為m的小球．開(kāi)始時(shí)小球位于A點(diǎn)，此時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)且與豎直方向的夾角為45°，之后小球由靜止沿圓環(huán)下滑，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)的速率為v，此時(shí)小球與圓環(huán)之間的壓力恰好為零，已知重力加速度為g．下列分析正確的是（　　）

• A． 輕質(zhì)彈簧的原長(zhǎng)為R
• B． 小球過(guò)B點(diǎn)時(shí)，所受的彈力為mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$
• C． 小球從A到B的過(guò)程中，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能
• D． 小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為mgR-$\frac{1}{2}$mv²

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求彈簧的原長(zhǎng)．小球過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出彈簧的彈力．從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，小球的機(jī)械能減�。�小球受到彈簧的彈力做負(fù)功，重力做正功，根據(jù)功能關(guān)系分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．

解答 解：A、由題意知，小球位于A點(diǎn)時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，由幾何知識(shí)可知彈簧的原長(zhǎng)為$\sqrt{2}$R，故A錯(cuò)誤；
B、小球過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由重力和彈簧彈力的合力提供小球的向心力，根據(jù)向心力公式：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，則得彈簧的彈力F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故B正確；
C、以小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在小球從A到B的過(guò)程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，小球重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能和小球的動(dòng)能．故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+E_P 得彈簧的彈性勢(shì)能為：E_P=mgR-$\frac{1}{2}$mv²，故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 此題中小球的機(jī)械能不守恒，可以從能量轉(zhuǎn)化的角度進(jìn)行分析．小球過(guò)B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力不是合力，不能得到這樣的表達(dá)式：F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$．