Question

18．如圖所示，固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點，用一根不可伸長的輕彈簧通過輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側(cè)繩子與斜面平行，A的質(zhì)量為2m=4kg，B的質(zhì)量為m=2kg，初始時物體A到C點的距離為L=1m．現(xiàn)給A、B一初速度v₀=3m/s，使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點．已知重力加速度為g=10m/s²，不計空氣阻力，整個過程中，輕繩始終處于伸直狀態(tài)，求此過程中：
（1）物體A向下運動剛到C點時的速度大小；
（2）彈簧的最大壓縮量；
（3）彈簧中的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）物體A向下運動到C點的過程中，A的重力勢能及AB的動能都減小，轉(zhuǎn)化為B的重力勢能和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒定律列式求出物體A向下運動剛到C點時的速度；
（2）從物體A接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后回到C點的過程中，彈簧的彈力和重力做功都為零，根據(jù)動能定理求出彈簧的最大壓縮量；
（3）彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，根據(jù)能量守恒定律求解彈簧中的最大彈性勢能．

解答 解：（1）物體A沿斜面向下運動時，B向上做運動，兩者加速度大小相等，以AB整體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{{m}_{A}gsinθ-μ{m}_{A}gcosθ-{m}_{B}g}{{m}_{A}+{m}_{B}}$
代入解得：a=-2.5m/s²．
由v²-${v}_{0}^{2}$=2aL得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}$=2m/s
（2）設(shè)彈簧的最大壓縮量為x．物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點，整個過程中，彈簧的彈力和重力對A做功均為零．設(shè)A的質(zhì)量為m_A，B的質(zhì)量為m_B，根據(jù)動能定理得：
-μ•m_Agcosθ•2x=0-$\frac{1}{2}$•（m_A+m_B）v²
代入數(shù)據(jù)解得：x=0.4m
（3）彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點的過程中，對系統(tǒng)根據(jù)能量關(guān)系有：
E_p+m_Bgx=m_Agxsinθ+μ•m_Agcosθ•x
因為m_Bgx=m_Agxsin θ
所以E_p=μ•m_Agcosθ•x=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×10×\frac{\sqrt{3}}{2}×0.4$=6J
答：（1）物體A向下運動剛到C點時的速度大小是2m/s；
（2）彈簧的最大壓縮量是0.4m；
（3）彈簧中的最大彈性勢能是6J．

點評 本題關(guān)鍵是搞清能量如何轉(zhuǎn)化的，可以先分清在物體運動的過程中涉及幾種形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量減小，再判斷能量如何轉(zhuǎn)化．