Question

14．空間有一顆繞恒星運(yùn)動(dòng)的球形行星，此行星上一晝夜是6h，在行星的赤道處，用彈簧測力計(jì)稱量物體的重力加速度比在兩極測量的讀數(shù)小10%，已知萬有引力恒量是6.67×10^-11N•m²/kg²，求此行星的密度．（計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 此行星上一晝夜的時(shí)間是t，故其自轉(zhuǎn)周期為t；在行星的赤道處用彈簧秤測量物體的重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測量的讀數(shù)小10%，對(duì)赤道物體物體受到的萬有引力和重力的合力提供向心力列式，兩極位置根據(jù)重力等于萬有引力列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：由題意知行星自轉(zhuǎn)的周期為6h．設(shè)行星的質(zhì)量為M，半徑為R，平均密度為ρ，則：
$M=\frac{4π}{3}{R^3}ρ$，
兩極的重力為物體受到的萬有引力$F=G\frac{Mm}{R^2}$，m是一個(gè)假定的物體的質(zhì)量．-----------①
物體在赤道隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為：${F_向}=m{（\frac{2π}{T}）^2}R$-------------②
彈簧測力計(jì)的讀數(shù)為F'由題意得到：F'=F-F_向----------------③
$G\frac{Mm}{R^2}-m{（{\frac{2π}{T}}）^2}R=0.9G\frac{Mm}{R^2}$------------④
而$M=\frac{4π}{3}{R^3}ρ$-------------⑤
代入數(shù)據(jù)得到：3×10³kg/m³．
答：此行星的密度為3×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合萬有引力定律提供向心力列式后聯(lián)立求解．