Question

圖示是我國(guó)的“探月工程”向月球發(fā)射一顆繞月探測(cè)衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”過(guò)程簡(jiǎn)圖．月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”預(yù)計(jì)在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國(guó)宇航員隨“嫦娥”號(hào)登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：
A．計(jì)時(shí)表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質(zhì)量為m的物體一個(gè)，D．天平一只（附砝碼一盒）．
在飛船貼近月球表面時(shí)可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，宇航員測(cè)量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時(shí)間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行了第二次測(cè)量，利用上述兩次測(cè)量的物理量可出推導(dǎo)出月球的半徑和質(zhì)量．（已知萬(wàn)有引力常量為G），要求：
（1）說(shuō)明機(jī)器人是如何進(jìn)行第二次測(cè)量的？
（2）試推導(dǎo)用上述測(cè)量的物理量表示的月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．
（3）若已知R_月=

1

4

R_地，g_月=

1

6

g_地，則近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度約為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的多少倍？

Answer 1

分析：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉(zhuǎn)影響，根據(jù)重力近似等于月球的萬(wàn)有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關(guān)系式，再飛船在繞月球運(yùn)行時(shí)，由萬(wàn)有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列方程，得到月球質(zhì)量與月球半徑、飛船周期的關(guān)系式，再聯(lián)立求解月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得到近月衛(wèi)星和近地衛(wèi)星速度的表達(dá)式，再求出兩速度之比．

解答：解：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小．
    （2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)可知  mg_月=F  ①G

Mm

R2

=mg月②
飛船在繞月球運(yùn)行時(shí)，因?yàn)槭强拷�月球表面，故近似認(rèn)為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬(wàn)有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可知G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

③又 T=

t

N

④
由①．②．③．④式可知月球的半徑 R=

FT2

4π2m

=

Ft2

4π2N2m

，
月球的質(zhì)量  M=

F3t4

16π4GN4m3

．
    （3）設(shè)近月衛(wèi)星和近地衛(wèi)星的速度分別為v_月、v_地．
由G

Mm

R

=m

v2

R

得v=

GM R

=

gR

則

V月

V地

=

g月R月 g地R地

=

1 24

．
答：（1）機(jī)器人是這樣進(jìn)行第二次測(cè)量的：機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小．
   （2）月球半徑的表達(dá)式R=

Ft2

4π2N2m

，質(zhì)量表達(dá)式量M=

F3t4

16π4GN4m3

．
   （3）近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度約為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的

1

24

倍．

點(diǎn)評(píng)：登月飛船繞月球旋轉(zhuǎn)與人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬(wàn)有引力提供飛船的向心力．