Question

如圖甲所示，足夠長(zhǎng)的平行傾斜導(dǎo)軌NM、PQ，兩軌道間距為d，其導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，上端M、P之間用導(dǎo)線相連，處于方向垂直導(dǎo)軌平面斜向上的均勻變化的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間按如圖乙所示的規(guī)律變化（B_m、T已知）．質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌放在與M、P相距為l₀的位置，其與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＞tanθ）．在磁感應(yīng)強(qiáng)度從0開始不斷增大以后，ab棒將從靜止開始沿導(dǎo)軌上滑，到t₁時(shí)刻（t₁＜T），ab棒沿導(dǎo)軌通過的路程為l時(shí)，其速度達(dá)到最大值．已知ab棒上滑過程中始終與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好，ab棒在導(dǎo)軌間部分的電阻為R，導(dǎo)軌和電線的電阻及空氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度為g，從t=0時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求：
（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻t₀（最大靜摩擦力可以認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力）；
（2）在ab棒開始運(yùn)動(dòng)之前，通過ab棒的電荷量q；
（3）ab棒達(dá)到的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到重力、斜面的支持力、安培力和摩擦力，此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值．由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求出ab棒開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻t₀．
（2）在ab棒開始運(yùn)動(dòng)之前，回路中電流不變，由q=It₀，通過ab棒的電荷量q．
（3）當(dāng)ab棒達(dá)到的最大速度v_m時(shí)，做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

Bm

T

t1，根據(jù)平衡條件求出最大速度v_m．

解答：解：（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，有  F_A=mgsinθ+μmgcosθ  ①
由F_A=BIL，I=

E

R

，E=

△B

△t

S=

Bm

T

l0d  得，F(xiàn)_A=

Bml0d

TR

②
a在b棒開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻t₀，則有B=

Bm

T

t0  ③
聯(lián)立①②③得
   t₀=

mgRT2(μcosθ+sinθ)

d2 l 2 0 B 2 m

（2）電量q=It₀，又I=

Bml0d

TR

解得，q=

mgT(μcosθ+sinθ)

dBm

（3）當(dāng)ab棒達(dá)到最大速度v_m時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

Bm

T

t1
此時(shí)電流  I=

Bm T (l0-l)d- Bm T t1dvm

R

ab棒沿斜面方向受力平衡，有
    mgsinθ+μmgcosθ=BId
解得，v_m=

l0-l

t1

-

mgT2R(sinθ-μcosθ)

(dBmt1)2

答：
（1）ab棒開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻t₀是

mgRT2(μcosθ+sinθ)

d2 l 2 0 B 2 m

；
（2）在ab棒開始運(yùn)動(dòng)之前，通過ab棒的電荷量q為

mgT(μcosθ+sinθ)

dBm

；
（3）ab棒達(dá)到的最大速度v_m是

l0-l

t1

-

mgT2R(sinθ-μcosθ)

(dBmt1)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式．同時(shí)當(dāng)金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．