Question

15．一個(gè)平行板電容器，間距為d，電壓為U，上極板帶正電，下極板帶負(fù)電，有正交于電場(chǎng)的磁場(chǎng)，垂直紙面向里，下極板有一個(gè)電子（e，m），靜止釋放，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰與上極板相切，求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）當(dāng)電子運(yùn)行到上極板時(shí)，其軌跡的曲率半徑（等效的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑）．

Answer 1

分析 （1）可以把電子的運(yùn)動(dòng)分解為向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)與在豎直方向沿順時(shí)針方向的勻速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)應(yīng)用平衡條件求出電子的速度，電子運(yùn)動(dòng)軌跡與上板相切，求出電子的運(yùn)動(dòng)軌道半徑，然后求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）電子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)求出電子的速度，應(yīng)用牛頓第二定律求出電子的加速度，然后應(yīng)用向心加速度公式求出電子的曲率半徑．

解答 解：（1）可以把電子的運(yùn)動(dòng)分解為水平向右速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直平面內(nèi)沿順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
電子在水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電子受力情況與速度如圖所示，
電子在水平方向向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：qvB=qE，解得：v=$\frac{E}{B}$=$\frac{U}{dB}$；
電子另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是在洛倫茲力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)軌跡恰與上極板相切，
則電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=$\fracor8vhp6{2}$，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{mU}{e{B}^{2}d}$=$\fraclemly78{2}$，解得：B=$\frac{1}3xjmqqj$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）電子做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向水平向右，
此時(shí)電子的合速度：v′=v+v=2v，所受合力：F=2evB-eE=eE=$\frac{eU}sspivdw$，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{eU}{md}$，加速度：a=$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
電子運(yùn)行到上極板時(shí)其軌跡的曲率半徑：R=$\frac{v{′}^{2}}{a}$=$\frac{4{v}^{2}md}{Ue}$=$（{\frac{U}{Bd}）}^{2}$•$\frac{4md}{Ue}$=$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$；
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{1}kjb2yge$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$；
（2）當(dāng)電子運(yùn)行到上極板時(shí)，其軌跡的曲率半徑為$\frac{4mU}{e{B}^{2}d}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力對(duì)電子做正功，電子速率不斷增大，電子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用使其偏轉(zhuǎn)，電子的運(yùn)動(dòng)是螺旋線運(yùn)動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜，用常規(guī)思路無法解題，巧妙地運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的觀點(diǎn)即可解題，本題難度很大，是一道難題．