Question

如圖所示，在光滑固定的水平長桿上套著一個(gè)光滑的質(zhì)量為m的滑環(huán)A，滑環(huán)通過一根不可伸長的輕繩懸吊一質(zhì)量為M=3m的重物B，輕繩長為L．將滑環(huán)A固定在水平桿上，給B一個(gè)水平瞬時(shí)沖量作用，使B向左擺動，且恰好剛碰到水平桿．若滑環(huán)A不固定，仍給B以同樣大小的沖量作用，在此后的運(yùn)動過程中，求：
（1）B離桿最近時(shí)的距離；
（2）B離桿最遠(yuǎn)時(shí)B的速度以及A對桿的壓力．

Answer 1

分析：（1）先研究A固定的情形：B擺動過程中，遵守機(jī)械能守恒，可列式求出B擺動的初速度．再研究A不固定的情形：A、B系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，在B擺到最高點(diǎn)時(shí)離桿最近，此時(shí)二者有相等的速度，根據(jù)動量守恒和機(jī)械能守恒列式求解；
（2）B離桿最遠(yuǎn)時(shí)應(yīng)在最低點(diǎn)，運(yùn)用歸納法研究：運(yùn)用動量守恒和機(jī)械能守恒列式分別求出第1次、第2次…回到最低點(diǎn)時(shí)B、A的速度，即可總結(jié)規(guī)律．根據(jù)牛頓第二定律求出繩子對B的拉力，即可求出A對桿的壓力．

解答：解：（1）環(huán)A固定時(shí)B擺動過程中，由機(jī)械能守恒得：

1

2

Mv02=MgL
解得B擺動的初速度：

v

0

=

2gL

當(dāng)A不固定，對A、B系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，且在B擺到最高點(diǎn)時(shí)離桿最近，此時(shí)二者有相等的速度v，則：Mv₀=（M+m）v
設(shè)B擺到最大高度時(shí)離桿的最近距離為h，由機(jī)械能守恒得：Mg(L-h)+

1

2

(M+m)v2=

1

2

M

v

2 0

解以上方程得：h=

3

4

L
（2）B離桿最遠(yuǎn)時(shí)應(yīng)在最低點(diǎn)，B從水平?jīng)_量作用獲得初速度v₀后到第1次回到最低點(diǎn)時(shí)，B、A速度分別設(shè)為v₁和v₂，此時(shí)A的速度達(dá)最大值．
由水平方向動量守恒得：Mv₀=Mv₁+mv₂…①
由機(jī)械能守恒得：

1

2

M

v

2 0

=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

…②
解以上兩方程得：v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，v2=

3

2

v0=

3

2

2gL

第2次回到最低點(diǎn)時(shí)，B、A速度分別設(shè)為

v

′ 1

和

v

′ 2

，同理可得：
 Mv1+mv2=M

v

′ 1

+m

v

′ 2

…③

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

M

v

′2 1

+

1

2

m

v

′2 2

…④
解以上兩方程得：

v

′ 1

=v0=

2gL

，

v

′ 2

=0
以此類推可知：B奇數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度為v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，方向向左；偶數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度為

v

′ 1

=

2gL

，方向向左．
B奇數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩對B的拉力為T=Mg+M

( v   1 -v2)2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，環(huán)A對桿的壓力F=mg+9mg=10mg．
B偶數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩對B的拉力為T′=Mg+M

( v ′ 1 - v ′ 2 )2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，環(huán)A對桿的壓力F′=mg+9mg=10mg．
可見，無論B是奇數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)還是偶數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)，環(huán)A對桿的壓力相等．
答：
（1）B離桿最近時(shí)的距離是

3

4

L；
（2）B奇數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度為v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，方向向左；偶數(shù)次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度為

v

′ 1

=

2gL

，方向向左．B經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)環(huán)A對桿的壓力為10mg．

點(diǎn)評：解決本題關(guān)鍵要把握B離桿最近和最遠(yuǎn)的條件，運(yùn)用系統(tǒng)的水平方向動量守恒和機(jī)械能守恒列式求解．第2題也可以直接由①②兩方程得到兩組解：

v1= 3 2 v0，v2= 1 2 v0 v1=v0，v2=0

，以此同樣得出結(jié)論．