Question

（2009?湘潭模擬）一圓環(huán)A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對(duì)B的長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)可以忽略不計(jì)．A和B的質(zhì)量都等于m，A和B之間的滑動(dòng)摩擦力為f（f＜mg）．開始時(shí)B豎直放置，下端離地面高度為h，A在B的頂端，如圖所示．讓它們由靜止開始自由下落，當(dāng)木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運(yùn)動(dòng)，并且碰撞前后的速度大小相等．設(shè)碰撞時(shí)間很短，不考慮空氣阻力，問(wèn)：在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應(yīng)該多長(zhǎng)？

Answer 1

分析：A和B第一次下降時(shí)，都是做自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木棒與地面相碰后，木棒開始向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)A在摩擦力的作用下，向下做加速運(yùn)動(dòng)，分析木棒的運(yùn)動(dòng)情況可知，木棒的速度小于圓環(huán)A的速度，木棒受到的摩擦力始終向下，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移公式可以計(jì)算出木棒的長(zhǎng)度．

解答：解：釋放后A和B相對(duì)靜止一起做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)落地時(shí)的速度為V₁，
由V₁²=2gh可得，
B著地前瞬間的速度為 v1=

2gh

，
B與地面碰撞后，A繼續(xù)向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，B豎直向上做勻減速運(yùn)動(dòng)．它們加速度的大小分別為：
  aA=

mg-f

m

和 aB=

mg+f

m

     
B豎直向上做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁
由V=V₀+at₁ 得  t₁=

v1

aB

，
B再次向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于B的速度小于A的速度，所以B受得摩擦力仍然向下，加速度于豎直向上運(yùn)動(dòng)的加速度相同，
所以再次回到地面時(shí)的時(shí)間與上升的時(shí)間相同，
所以B與地面碰撞后向上運(yùn)動(dòng)到再次落回地面所需時(shí)間為   t=

2v1

aB

在此時(shí)間內(nèi)A的位移   x=v1t+

1

2

aAt2   
要在B再次著地前A不脫離B，木棒長(zhǎng)度L必須滿足條件 L≥x 
聯(lián)立以上各式，解得  L≥

8m2g2h

(mg+f)2

答：B的長(zhǎng)度至少應(yīng)該是

8m2g2h

(mg+f)2

．

點(diǎn)評(píng)：題目涉及到的運(yùn)動(dòng)過(guò)程較多，要根據(jù)物體的受力的情況，逐個(gè)分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在計(jì)算中需要注意的是木棒在上升和再次下降的過(guò)程中，它的加速度是一樣的，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也就是相同的．